Question

（2010•麗水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使AB的中點位于坐標(biāo)原點O（如圖），△ABC可以繞點O作任意角度的旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點B在第一象限，縱坐標(biāo)是時，求點B的橫坐標(biāo)；
（2）如果拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸經(jīng)過點C，請你探究：
①當(dāng)a=，b=-，c=-時，A，B兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；
②設(shè)b=-2am，是否存在這樣的m的值，使A，B兩點不可能同時在這條拋物線上？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于O是AB的中點，則OA=OB=；可設(shè)出點B的橫坐標(biāo)，結(jié)合B點的縱坐標(biāo)和勾股定理即可求出B點的橫坐標(biāo)；
（2）①已知了拋物線的解析式，即可得到拋物線的對稱軸方程，也就得到了C點的橫坐標(biāo)；此時發(fā)現(xiàn)C點橫坐標(biāo)為正數(shù)，所以分兩種情況討論：
一、點C在第一象限；在Rt△OBC中，根據(jù)OB的長及∠B的度數(shù)，可求出OC的長，參照（1）的方法即可求出C點的坐標(biāo)；若分別過A、C作x軸的垂線，通過構(gòu)建的相似三角形即可求出A點的坐標(biāo)，A、B關(guān)于原點對稱，即可得到B點的坐標(biāo)；將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗證即可；
二、點D在第四象限；方法同一；
②若b=-2am，則函數(shù)的解析式為：y=ax²-2amx+c=a（x-m）²-am²+c；由此可得C點的橫坐標(biāo)為m；在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，C點橫坐標(biāo)的取值范圍在區(qū)間[-1，1]之間，由于當(dāng)m=-1或1時，C點在x軸上，A、B同時處在y軸，所以此時拋物線不可能同時經(jīng)過A、B兩點．
解答：解：（1）∵點O是AB的中點，
∴OB=AB=；（1分）
設(shè)點B的橫坐標(biāo)是x（x＞0），
則x²+（）²=（）²，（1分）
解得x₁=，x₂=-（舍去）；
∵點B在第一象限，
∴點B的橫坐標(biāo)是；（2分）

（2）①當(dāng)a=，b=-，c=-時，得y=（*）
y=；（1分）
以下分兩種情況討論；
情況1：設(shè)點C在第一象限（如圖），
則點C的橫坐標(biāo)為，OC=OB×tan30°==1；（1分）
由此，可求得點C的坐標(biāo)為（，），
根據(jù)∠A=30°，OC⊥AB，
過C作X軸的垂線交X軸于N，過點A作垂線交X軸于點M，
則△AOM∽△CON
∴OA：OC=OM：CN=AM：ON=：1，
∵NO=，
∴AM=NO×=，
∴MO=CN×=，
∴點A（-，），
∵A，B兩點關(guān)于原點對稱，

∴點B的坐標(biāo)為（，-），
將點A的橫坐標(biāo)代入解析式的右邊，計算得，
即等于點A的縱坐標(biāo)；
將點B的橫坐標(biāo)代入解析式的右邊，計算得-，即等于點B的縱坐標(biāo)；
∴在這種情況下，A，B兩點都在拋物線上；
情況2：設(shè)點C在第四象限（如圖），則點C的坐標(biāo)為（，-），
點A的坐標(biāo)為（，），點B的坐標(biāo)為（-，-）；
經(jīng)計算，A，B兩點都不在這條拋物線上；
②存在，m的值是1或-1．
y=a（x-m）²-am²+c，
因為這條拋物線的對稱軸經(jīng)過點C，
所以-1≤m≤1；
當(dāng)m=±1時，點C在x軸上，此時A，B兩點都在y軸上．
因此當(dāng)m=±1時，A，B兩點不可能同時在這條拋物線上．
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識．