Question

【題目】在正方形中，連接，為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，的垂直平分線交線段于點(diǎn)，連接，.

提出問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生改變？

探究問(wèn)題：

（1）首先考察點(diǎn)的兩個(gè)特殊位置：

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖1所示，____________

②當(dāng)時(shí)，如圖2所示，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？直接寫(xiě)出你的結(jié)論：__________；（填“變化”或“不變化”）

（2）然后考察點(diǎn)的一般位置：依題意補(bǔ)全圖3，圖4，通過(guò)觀察、測(cè)量，發(fā)現(xiàn)：（1）中①的結(jié)論在一般情況下_________；（填“成立”或“不成立”）

（3）證明猜想：若（1）中①的結(jié)論在一般情況下成立，請(qǐng)從圖3和圖4中任選一個(gè)進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）①45；②不變化；（2）成立；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①②根據(jù)正方形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)即可判斷；

（2）畫(huà)出圖形即可判斷，結(jié)論仍然成立；

（3）如圖2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，證 得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.繼而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.從而得出∠APE=∠EAP=45°.

解（1）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖1-1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠APE=45°

②當(dāng)BP=BC時(shí)，如圖1-2所示，①中的結(jié)論不發(fā)生變化；

故答案為：45°，不變化.

(2) （2）如圖2-1，如圖2-2中，結(jié)論仍然成立；

故答案為：成立；

(3)證明一：如圖所示.

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn).

∵點(diǎn)在的垂直平分線上，

∴.

∵四邊形為正方形，

∴平分.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

證明二：如圖所示.

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接.

∵點(diǎn)在的垂直平分線上，

∴.

∵四邊形為正方形，

∴，

∴.

∴，.

∴.

又∵，

∴.

又∵，

∴.

∴.