Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求拋物線及直線BC的解析式；
（2）若P為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，求△PBC面積S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交予點(diǎn)D，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，若以點(diǎn)D、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由于拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，可得-1，3是一元二次方程ax²+bx+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得a，b，可得拋物線的解析式，令x=0，即可得出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)． 
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的拋物線的與直線BC平行的切線方程為2x+y+m=0．與拋物線的方程聯(lián)立可得2x²-6x-6-m=0，令△=0，解得m，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線BC的距離h．又求得|BC|后可得△PBC面積S的最大值=

1

2

×|BC|×h． 
（3）拋物線的對(duì)稱軸x=1，代入直線BC的方程可得y=4，可得D（1，4）．設(shè)N（n，0），M（x，-2x²+4x+6），則 

AD

=（2，4），

MN

=（n-x，2x²-4x-6）．然后得到以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

AD

=

MN

，從而得到方程求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴-1，3是一元二次方程ax²+bx+6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴

-1+3= b a -1×3= 6 a

，
解得

a=-2 b=4

． 
∴拋物線的方程為y=-2x²+4x+6，
令x=0，可得y_C=6． 
∴C（0，6），
∴直線BC的方程為

x

3

+

y

6

=1，化為 2x+y-6=0． 
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的拋物線的與直線BC平行的切線方程為2x+y+m=0． 
聯(lián)立

2x+y+m=0 y=-2x2+4x+6

，化為2x2-6x-6-m=0，
令△=36-8（-6-m）=0，解得m=-212． 
代入上述方程可得2x²-6x-6+

21

2

=0，
化為（2x-3）²=0，解得x=

3

2

，
∴y=-2×

3

2

-（-

21

2

）=

15

2

． 
∴P（

3

2

，

15

2

）． 
點(diǎn)P到直線BC的距離h=

|2× 3 2 + 15 2 -6|

22+1

=

9 5

10

． 
又|BC|=

32+62

=3

5

． 
∴△PBC面積S的最大值=

1

2

×|BC|×h=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=

27

4

． 
（3）拋物線的對(duì)稱軸x=1，代入直線BC的方程可得y=4，∴D（1，4）． 
設(shè)N（n，0），M（x，-2x²+4x+6），
則

AD

=（2，4），

MN

=（n-x，2x²-4x-6）． 
∵以點(diǎn)DAMN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴

AD

=

MN

，
∴

2=n-x 4=2x2-4x-6

，
解得

x=1+ 6 n=3+ 6

或

x=1- 6 n=3- 6

． 
∴M（1+

6

，-4）或（1-

6

，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題了考查了拋物線的方程及其性質(zhì)、拋物線的切線、三角形的面積最大值、點(diǎn)到直線的距離公式、平行四邊形的性質(zhì)、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．