Question

拋物線y=x²-4x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，6），動點(diǎn)P在該拋物線上．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)△POC是以O(shè)C為底的等腰三角形時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時，記△POC的面積為S₁，△PBC的面積為S₂．試問S₂-S₁是否存在最大值？若存在，請求出S₂-S₁的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）⊙拋物線y=x²-4x+k經(jīng)過點(diǎn)C（0，6）
∴×0²-4×0+k=6
解得k=6；

（2）如圖1，過OC的中點(diǎn)D作y軸的垂線，當(dāng)△POC是以O(shè)C為底的等腰三角形時，由OD=×6=3可知，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．
由（1）可知，拋物線的解析式為y=x²-4x+6，
令y=3得x²-4x+6=3，解得x=4
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4；

（3）∵由（1）可知，拋物線的解析式為y=x²-4x+6
令x=0，得y=6；令y=0，得x²-4x+6=0，
解得 x₁=2，x₂=6．
∴點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)分別為（2，0）、（6，0）、（0，6），則OA=2，OB=OC=6
設(shè)點(diǎn)P為（m，m²-4m+6），當(dāng)點(diǎn)P在直BC下方時0＜m＜6，
過點(diǎn)P作PE⊥y軸于E，作直PG⊥x軸于G．
當(dāng)2≤m＜6時，如圖2，
PE=m，PG=m²+4m-6，S₂=S_{四邊形COPB}-S_△POC，
∵S_{四邊形COPB}=S_△BOC+S_△POB=×OB×（OC+PG）=-m²+12m，
2S₁=OC×PE=6
∴S₂-S₁=S_{四邊形COPB}-2S₁
=-+12m-6m=-m²+6m；
當(dāng)0＜m＜2時，如圖3．
PE=m，PG=m²+4m-6，S₂=S_△BOC+S_△POB-S₁
同理可求S₂-S₁=-m²+6m
綜上所述，當(dāng)0＜m＜6時，S₂-S₁=-m²+6m=-（m-2）²+6．
∵拋物線S₂-S₁=-（m-2）²+6的開口方向向下，
∴當(dāng)m=2時，它有最大值．
∵m=2滿足0＜m＜6，
∴當(dāng)m=2時，S₂-S₁存在最大值6．
分析：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入已知函數(shù)解析式y(tǒng)=x²-4x+k來求k的值；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)可知，點(diǎn)P是線段OC的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)；
（3）需要分類討論，如圖2、圖3，根據(jù)點(diǎn)P所處的位置不同，可求得S₂-S₁=-m²+6m=-（m-2）²+6，然后由拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)可以求得它的最值．
點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及三角形面積的求法．解答（2）題時，一定要分類討論，以防漏解或錯解．