Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(－3,0)，B(1,0)，C(0,－3)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）最大值，P的坐標(biāo)為（-，-）；（3）（0，）或（0，-）或（0，-1）或（0，-3）．

【解析】

試題分析：（1）已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），根據(jù)AC的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論；

（3）分三種情況進(jìn)行討論：①以A為直角頂點(diǎn)；②以D為直角頂點(diǎn)；③以M為直角頂點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出t的值即可．

試題解析：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），

將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）代入，得：

a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，

則y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，

所以拋物線的解析式為：y=x2+2x-3；

（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得

，解得，

∴直線AC的解析式為：y=-x-3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x-3），

∴PN=PE-NE=-（x2+2x-3）+（-x-3）=-x2-3x．

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴S=PNOA

=×3（-x2-3x）

=-（x+）2+，

∴當(dāng)x=-時(shí)，S有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-）；

（3）在y軸上是存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y=x2+2x-3=y=（x+1）2-4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4），

∵A（-3，0），

∴AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3①，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，

解得t=，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）；

②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3②，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，

解得t=-，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-）；

③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3③，

由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，-3）；

綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，-）或（0，-1）或（0，-3）．