Question

【題目】我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”

（1）概念理解：
請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；
（2）問(wèn)題探究；
如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）應(yīng)用拓展；
如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

矩形或正方形

（2）

解：AC=BD，理由為：

連接PD，PC，如圖1所示：

∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，

∴PA=PD，PC=PB，

∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，

∴∠APC=∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS），

∴AC=BD；

（3）

解：分兩種情況考慮：

（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，

如圖3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′，

∴EB=ED′，

設(shè)EB=ED′=x，

由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，

解得：x=4.5，

過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F，

∴D′F∥AC，

∴△ED′F∽△EAC，

∴ ，即 ，

解得：D′F= ，

∴S△ACE= AC×EC= ×4×（3+4.5）=15；S△BED′= BE×D′F= ×4.5× = ，

則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣ =10 ；

（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，

如圖3（ii）所示，

∴四邊形ECBD′是矩形，

∴ED′=BC=3，

在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE= = ，

∴S△AED′= AE×ED′= × ×3= ，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣ ）×3=12﹣3 ，

則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′= +12﹣3 =12﹣ ．

【解析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對(duì)角相等，利用等角對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′ ， 求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′ ， 求出四邊形ACBD′面積即可．此題屬于幾何變換綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線定理，等腰三角形性質(zhì)，以及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．