Question

如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心O，且點E在半圓弧上．若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內(nèi)切圓半徑r=4，則半圓的直徑AB=

21

．

Answer 1

分析：連接EB、AE，OJ、OI，可得OHCI是正方形，且邊長是4，可設(shè)BD=x，AD=y，則BD=BH=x，AD=AI=y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關(guān)系列方程組求解即可求得半圓的直徑AB=21．

解答：解：∵正方形DEFG的面積為100，
∴正方形DEFG邊長為10．
連接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切線，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形OICJ是正方形，且邊長是4，
設(shè)BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED²=AD•BD，即10²=x•y②．
解①、②得x+y=21，即半圓的直徑AB=21．
故答案為：21．

點評：本題綜合考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．