Question

如圖，△ABC中，∠C=30°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，并且BC與⊙O相切，切點(diǎn)為B，
（1）求∠ADO的度數(shù)；
（2）若AB=4

5

，求線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABC=90°，再根據(jù)互余計(jì)算出∠A=90°-∠C=60°，然后利用OD=OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠ADO=∠A=60°；
（2）先在Rt△ABC中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC=2AB=8

5

，再由∠ADO=∠A=60°判斷△ADO為等邊三角形，則AD=AO=

1

2

AB=2

5

，然后利用CD=AC-AD進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）∵BC與⊙O相切，切點(diǎn)為B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠C=90°-30°=60°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=∠A=60°；
（2）在Rt△ABC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AB=2×4

5

=8

5

，
∵∠ADO=∠A=60°，
∴△ADO為等邊三角形，
∴AD=AO=

1

2

AB=2

5

，
∴CD=AC-AD=8

5

-2

5

=6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．