【題目】如圖,C為⊙O上的一點(diǎn),P為直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BH⊥CP于H交⊙O于D,∠PBH=2∠PAC.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若sin∠P= ,求 的值.
【答案】
(1)解:證明:連接OC,
∵OA=OC,
∴∠PAC=∠OCA,
∴∠COP=∠PAC+∠OCA=2∠PAC,
∵∠PBH=2∠PAC,
∴∠COP=∠OBH,
∴OC∥BH,
∵BH⊥CP,
∴OC⊥CP,
∴PC是⊙O的切線;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為2a,
在Rt△OCP中,sin∠P= ,OC⊥CP,
∴OP=3a,
∴PB=OP﹣OB=a,
作OG⊥DH,
則BG= BD,△OBG∽△PBH,
∴ ,
∴ .
【解析】(1)連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAC=∠OCA,推出∠COP=∠OBH,得到OC∥BH,于是得到結(jié)論;(2)設(shè)⊙O的半徑為2a,解直角三角形得到OP=3a,PB=OP﹣OB=a,作OG⊥DH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知切線的判定方法:經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲,乙兩輛汽車先后從A地出發(fā)到B地,甲車出發(fā)1小時(shí)后,乙車才出發(fā),如圖所示的l1和l2表示甲,乙兩車相對(duì)于出發(fā)地的距離y(km)與追趕時(shí)間x(h)之間的關(guān)系:
(1)哪條線表示乙車離出發(fā)地的距離y與追趕時(shí)間x之間的關(guān)系?
(2)甲,乙兩車的速度分別是多少?
(3)試分別確定甲,乙兩車相對(duì)于出發(fā)地的距離y(km)與追趕時(shí)間x(h)之間的關(guān)系式;
(4)乙車能在1.5小時(shí)內(nèi)追上甲車嗎?若能,說(shuō)明理由;若不能,求乙車出發(fā)幾小時(shí)才能追上甲?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)題意解答
(1)【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①,在正方形ABCD的外側(cè),作兩個(gè)等邊三角形ABE和ADF,連結(jié)ED與FC交于點(diǎn)M,則圖中△ADE≌△DFC,可知ED=FC,求得∠DMC= .
(2)【拓展應(yīng)用】如圖②,在矩形ABCD(AB>BC)的外側(cè),作兩個(gè)等邊三角形ABE和ADF,連結(jié)ED與FC交于點(diǎn)M.
(i)求證:ED=FC.
(ii)若∠ADE=20°,求∠DMC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1,3,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( ) ①ac<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④對(duì)于任意x均有ax2+bx≥a+b.
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠MON=45°,OA1=1,作正方形A1B1C1A2 , 面積記作S1;再作第二個(gè)正方形A2B2C2A3 , 面積記作S2;繼續(xù)作第三個(gè)正方形A3B3C3A4 , 面積記作S3;點(diǎn)A1、A2、A3、A4…在射線ON上,點(diǎn)B1、B2、B3、B4…在射線OM上,…依此類推,則第6個(gè)正方形的面積S6是( )
A.256
B.900
C.1024
D.4096
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:
為了緩解北京市西部地區(qū)的交通擁堵現(xiàn)象,市政府決定修建本市的第一條磁浮地鐵線路﹣﹣“S1線”.該線路連接北京城區(qū)與門頭溝,西起石門營(yíng),向東經(jīng)蘋果園,終點(diǎn)至慈壽寺與6號(hào)線和10號(hào)線相接.為使該工程提前4個(gè)月完成,在保證質(zhì)量的前提下,必須把工作效率提高10%.問(wèn)原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需用多少個(gè)月.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC.
(1)如圖1,P,Q是BC邊上兩點(diǎn),AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);
(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上兩動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè),且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M,連接AM,PM.
①依題意將圖2補(bǔ)全;
②小明通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn),提出猜想:在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有PM=PA.他把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過(guò)討論,形成以下證明猜想的思路:
(Ⅰ)要想證明PM=PA,只需證△APM為等腰直角三角形;
(Ⅱ)要想證明△APM為等腰直角三角形,只需證∠PAM=90°,PA=AM;
…
請(qǐng)參考上面的思路,幫助小明證明PM=PA.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高臺(tái)縣為加快新農(nóng)村建設(shè),建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,對(duì)A、B兩類村莊進(jìn)行了全面改建.根據(jù)預(yù)算,建設(shè)一個(gè)A類美麗村莊和一個(gè)B類美麗村莊共需資金300萬(wàn)元;巷道鎮(zhèn)建設(shè)了2個(gè)A類村莊和5個(gè)B類村莊共投入資金1140萬(wàn)元.
(1)建設(shè)一個(gè)A類美麗村莊和一個(gè)B類美麗村莊所需的資金分別是多少萬(wàn)元?
(2)駱駝城鎮(zhèn)改建3個(gè)A類美麗村莊和6個(gè)B類美麗村莊共需資金多少萬(wàn)元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠ABC=90°,點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合),分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ,連接QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F.
(1)如圖1,若AB=,點(diǎn)A,E,P恰好在一條直線上時(shí),求EF的長(zhǎng)(直接寫出結(jié)果);
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí),求證:BF=EF;
(3)若AB=,設(shè)BP=2,求QF的長(zhǎng).
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