Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過第二象限的點A（-2，m），AB⊥x軸于B，Rt△AOB面積為2，若直線y=ax+b經(jīng)過點A，并且經(jīng)過反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上另一點C（n，-1）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）求直線y=ax+b的解析式．
（3）在y軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由A的坐標表示出AB及OB的長，根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半，由AB與BO乘積的一半表示出三角形AOB的面積，根據(jù)三角形AOB的面積為2列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例函數(shù)解析式中，求出k的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；
（2）由A和C兩點在反比例函數(shù)圖象上，將C的坐標代入反比例函數(shù)解析式中，求出n的值，確定出C的坐標，然后將A和C的坐標代入y=ax+b中，得到關于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，即可確定出一次函數(shù)y=ax+b的解析式；
（3）在y軸上存在點P，使△AOP是等腰三角形，分四種情況考慮：當AP₁=P₁O時；當OA=OP₃時；當OA=AP₂時；當OA=OP₄時，分別根據(jù)A的坐標得出OA的長，即可確定出各種情況P的坐標．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（-2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴

OB•AB

2

=2，即

2m

2

=2，
∴m=2，
則點A的坐標為（-2，2），
把點A的坐標代入y=

k

x

中，得k=-4，
則反比例函數(shù)的解析式為：y=-

4

x

；

（2）將y=-1代入由（1）得出的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=-

4

x

中，得x=4，
可得C（4，-1），
又有A（-2，2），
將A和C坐標代入y=ax+b中，得

4a+b=-1 -2a+b=2

，
解得：

a=- 1 2 b=1

，
則直線解析式為y=-

1

2

x+1；

（3）在y軸上存在點P，使△AOP是等腰三角形，
分四種情況考慮，如圖所示：

當AP₁=P₁O時，△AP₁O為等腰直角三角形，
∵A（-2，2）
，∴AP₁=OP₁=2，
此時P₁（0，2）；
當OA=OP₃時，∵A（-2，2），
∴OA=2

2

，
此時P₃（0，2

2

）；
當OA=AP₂時，OP₂=4，
此時P₂（0，4）；
當OA=OP₄時，由OA=2

2

，得到OP₄=2

2

，
此時P₄（0，-2

2

）．
綜上，滿足題意坐標為P₁（0，2），P₂（0，4），P₃（0，2

2

），P₄（0，-2

2

）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用了數(shù)形結合及分類討論的思想，難度較大，解題的關鍵是掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同時第三問滿足題意的點P坐標要找對、找全．