Question

所有以質(zhì)數(shù)p為分母的最簡真分數(shù)的和記為m，所有以質(zhì)數(shù)q為分母的最簡真分數(shù)的和記為n．若mn=48，求m+n的可能值．

Answer 1

分析：先根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義得出所有以p、q為分母的真分數(shù)的和，再根據(jù)mn=48可得到（p-1）（q-1）=2⁶×3，再把2⁶×3進行分解，找出符合條件的p和q，求出對應的m和n的值即可．

解答：解：因為p為質(zhì)數(shù)，
所以

1

p

，

2

p

，…，

p-1

p

為最簡真分數(shù)，
所以m=

1+2+…+(p-1)

p

=

p-1

2

，
同理可得n=

q-1

2

，
所以（p-1）（q-1）=2⁶×3．
首先，因為上式右端3的因子只有一個，
所以p和q不可能相等，不妨設(shè)p＞q，
因為2⁶×3=2×96=4×48=8×24=16×12=32×6=3×64，
所以p和q可以是以下情形：
p=97，q=3，對應的m+n=49，
p=17，q=13，對應的m+n=14．
故答案為：49，14．

點評：本題考查的是質(zhì)數(shù)的定義，即在一個大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，沒法被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫質(zhì)數(shù)．