Question

25、如圖：在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別是BC、AC上任意一點，
（1）求證：AD²+BE²=AB²+DE²；
（2）若BC、AC、AB三邊長分別為a、b、c，且a、b、c均為整數(shù)，求證：a、b中必有一個是3的倍數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理可得：AD²=AC²+CD²，BE²=CE²+BC²，CD²+CE²=DE²，AC²+BC²=AB²，即：AD²+BE²=AC²+BC²+CD²+CE²，將DE²，AB²等價替換其中相應的值即可．
（2）為了推出矛盾，我們應用同余的理論，為了證明a、b中必有一個是3的倍數(shù)，首先證明a、b、c中至少有一個是3的倍數(shù)，然后證明c不是3的倍數(shù)，從而得出a、b中至少有一個是3的倍數(shù)．

解答：證明：（1）∵∠C=90°，由勾股定理可得：
AD²=AC²+CD²，BE²=CE²+BC²，
又∵CD²+CE²=DE²，AC²+BC²=AB²，
∴AD²+BE²=AC²+BC²+CD²+CE²=AB²+DE²；
（2）根據(jù)題意有：a²+b²=c²，其中a、b、c均為整數(shù)．
（1）若a、b、c都不是3的倍數(shù)，則它們可表示為3n+1或3n-1的形式（n為正整數(shù)），
∵（3n±1）²=9n²±6n+1，
∴a²+b²≡2（mod 3），c²≡1（mod 3）．
故a²+b²≠c²．矛盾．
因此，a、b、c中至少有一個是3的倍數(shù)
（2）若c是3的倍數(shù)，且a、b都不是3的倍數(shù)，
則a²+b²≡2（mod 3），c²≡0（mod 3）．
故a²+b²≠c²，矛盾．
故c不是3的倍數(shù)．
∴a、b中必有一個是3的倍數(shù)．

點評：本題主要考查的是勾股定理的簡單應用，關鍵在于找出直角三角形，利用勾股定理（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）求證．本題中的第二問用到了同余定理，難度較大．