Question

如圖所示，矩形AOBC在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A在x軸上，B在y軸上，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為，M是OB上的一點(diǎn)，若將梯形AMBC沿AM折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)B′處，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′．
（1）求出B′點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線A C′的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，過P作PQ⊥AB，交射線AM于Q；
①求運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)；（用含t的代數(shù)式表示）
②以Q為圓心，以PQ的長(zhǎng)為半徑作圓，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙Q與y軸相切？

Answer 1

【答案】分析：結(jié)合圖形，考慮到折疊后的圖形與原圖形的全等關(guān)系即可求得．
解答：解：（1）由一次函數(shù)可知A（6，0），B（0，8），
由Rt△AOB可得OA=6，OB=8，AB=10，AB′=10，
B′的坐標(biāo)為（-4，0），
設(shè)BM=a，則B′M=a，OM=8-a，在Rt△MOB′中OM²+OB′²=BM²，
即（8-a）²+4²=a²，解得a=5，
故OM=3，
M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3）；

（2）△ABC沿AM翻轉(zhuǎn)后變成△AB′C′，故△ABC≌△AB′C′，tan∠CAB=tan∠C′BA′=，
∴AC′的斜率為，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）
∴AC′的解析式為y=（x-6）；

（3）由題意，點(diǎn)P坐標(biāo)為（6-t，-），作QG⊥x軸，
∴AG=AP=t，
∴①Q(mào)（6-t，）或（6-t，）
∴②當(dāng)t=4或12秒．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．