【題目】類比等腰三角形的定義,我們定義:有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形.

(1)如圖1,四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B=∠D.求證:四邊形ABCD為等鄰邊四邊形.

(2)如圖2,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,將△ABC沿∠ABC的平分線BB′的方向平移,得到△A′B′C′,連接AA′、BC′,若平移后的四邊形ABC′A′是等鄰邊四邊形,且滿足BC′=AB,求平移的距離.

(3)如圖3,在等鄰邊四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=90°,AC和BD為四邊形對(duì)角線,△BCD為等邊三角形,試探究AC和AB的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)證明見解析;(2)平移的距離是;(3)AC=AB,理由見解析.

【解析】(1)∵∠BAC=DAC ,B=D,AC=AC

ABCADC

AB=AD

∴四邊形ABCD是等鄰邊四邊形.---------------------3’

(2)如圖,延長C’B’AB于點(diǎn)D ,

A’B’C’ABC平移得到

AB’∥AB,∠ A’B’C’=ABC=90°,CB’=CB=1

BDAB

BB’平分∠ABC

∴∠BBD=45°,即BD=BD。

設(shè)BD=BD=,∴CD=1+,

BC’=AB=2,

∴RtBDC’中,

解得=,(不合題意,舍去)

∴等腰Rt BBD中,BB’==

(3)AC=AB

理由:如圖,過AAEAB,且AE=AB,連接ED,EB

AEAB

∴∠EAD+∠BAD=90°

又∵∠BAD+∠BCD=90°,BCD為等邊三角形

∴∠EAD=∠DCB=60°,

AE=AB,AB=ADAE=AD

AED為等邊三角形,

AD=ED,∠EDA=∠BDC=60°

∴∠BDE=∠CDA,∵ED=AD,BD=CD

BDECDA

AC=BE

AE=BE,∠BAE=90°, ∴BE=AB,

AC=AB

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