Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP= ，CQ= 時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離 (用含的代數(shù)式表示)．

Answer 1

【答案】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中點(diǎn)，利用SAS，可證得△BPE≌△CQE；

（2）由△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得∠BEP=∠EQC，則可證得△BPE∽△CEQ；PQ=a

【解析】試題分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中點(diǎn)，利用SAS，可證得：△BPE≌△CQE；

（2）由△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得∠BEP=∠EQC，則可證得：△BPE∽△CEQ；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得BE的長(zhǎng)，即可得BC的長(zhǎng)，繼而求得AQ與AP的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求得P、Q兩點(diǎn)間的距離．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，AB=AC，

∵AP=AQ，

∴BP=CQ，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）連接PQ

∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=45°，

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，

∴∠BEP=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ，

∴，

∵BP=a，CQ=a，BE=CE，

∴，

∴BE=CE=，

∴BC=3，

∴AB=AC=BCsin45°=3a，

∴AQ=CQ-AC=，PA=AB-BP=2a，