Question

（2012•西城區(qū)二模）如圖，某天然氣公司的主輸氣管道途經(jīng)A小區(qū)，繼續(xù)沿A小區(qū)的北偏東60°方向往前鋪設(shè)，測繪員在A處測得另一個需要安裝天然氣的M小區(qū)位于北偏東30°方向，測繪員從A處出發(fā)，沿主輸氣管道步行2000米到達C處，此時測得M小區(qū)位于北偏西60°方向．現(xiàn)要在主輸氣管道AC上選擇一個支管道連接點N，使從N處到M小區(qū)鋪設(shè)的管道最短．
（1）問：MN與AC滿足什么位置關(guān)系時，從N到M小區(qū)鋪設(shè)的管道最短？
（2）求∠AMC的度數(shù)和AN的長．

Answer 1

分析：（1）過M作MN⊥AC交于N點，即MN最短；
（2）根據(jù)方向角可以證得∠AMC=90°，根據(jù)三角函數(shù)即可求得MC，進而求得AN的長．

解答：解：（1）當MN⊥AC時，從N到M小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，

（2）∵∠MAC=60°-30°=30°，∠ACM=30°+30°=60°，
∴∠AMC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△AMC中，∵∠AMC=90°，∠MAC=30°，AC=2000，
∴AM=AC•cos∠MAC=2000×

3

2

=1000

3

（米），
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，cos30°=

AN

AM

，
∴AN=AM?cos30°=1000

3

×

3

2

=1500（米）．
答：∠AMC等于90°，AN的長為1500米．

點評：本題主要考查了方向角含義，正確作出高線，證明△AMC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．