Question

【題目】如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，下面四個(gè)結(jié)論:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度數(shù)不變，始終等于60°；④當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形，正確的有幾個(gè) ( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①等邊三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．

②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；

③由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠CMQ=60°；

④設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，因?yàn)椤?/span>B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此兩種情況即可得出結(jié)論．

①在等邊△ABC中，AB=BC．

∵點(diǎn)P、Q的速度都為1cm/s，

∴AP=BQ，

∴BP=CQ．

只有當(dāng)CM=CQ時(shí)，BP=CM．

故①錯(cuò)誤；

②∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，

又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ與△CAP中，

∵，

∴△ABQ≌△CAP（SAS）．

故②正確；

③點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠QMC不變．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，

∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．

故③正確；

④設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=，

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，

∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．

故④正確．

正確的是②③④，

故選：C．