Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是邊AC上一點（不包括端點A、C），過點P作PE⊥BC于點E，過點E作EF∥AC，交AB于點F．設(shè)PC=x，
PE=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在點P使△PEF是Rt△？若存在，求此時的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，

∴sinC= ，

∵PE⊥BC于點E，

∴sinC= = ，

∵PC=x，PE=y，

∴y= x（0＜x＜20）

（2）解：存在點P使△PEF是Rt△，

①如圖1，當∠FPE=90°時，四邊形PEBF是矩形，BF=PE= x，

四邊形APEF是平行四邊形，PE=AF= x，

∵BF+AF=AB=10，

∴x=10；

②如圖2，當∠PFE=90°時，Rt△APF∽Rt△ABC，

∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，

平行四邊形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x= x，

解得x=16；

③當∠PEF=90°時，此時不存在符合條件的Rt△PEF．

綜上所述，當x=10或x=16，存在點P使△PEF是Rt△．

【解析】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，注意分類思想的運用，綜合性較強，難度中等．（1）在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）分三種情況：①如圖1，當∠FPE=90°時，②如圖2，當∠PFE=90°時，③當∠PEF=90°時，進行討論可求x的值．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．