Question

已知直線m的解析式為y=-

3

3

x+4，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P（a，2），且△ABP的面積與△ABC的面積相等．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）求a的值．

Answer 1

分析：（1）先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出△ABC的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，此時(shí)OD=OA+AD=a，PD=2，由于△ABP的面積與△ABC的面積相等，故S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=32，故可求出a的值；
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，由△ABP的面積與△ABC的面積相等，可知S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=32，故可得出a的值．

解答：解：（1）∵令y=0，則x=4

3

，
x=0，則y=4，
∴A（4

3

，0），B（0，4）；

（2）∵A（4

3

，0），B（0，4），
∴OA=4

3

，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

(4 3 )2+42

=8，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC=8，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×8×8=32；


（3）∵點(diǎn)P（a，2），
∴點(diǎn)P在第一象限或第二象限，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖1所示，
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，此時(shí)OD=OA+AD=a，PD=2，
∵△ABP的面積與△ABC的面積相等，
∴S_△ABP=S_梯形ODPB-S_△AOB-S_△APD=

1

2

（2+4）×a-

1

2

×4×4

3

-

1

2

×2×（a-4

3

）=32，
解得a=16+2

3

；
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，如圖2所示：
連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，
此時(shí)AE=4

3

-a，
∵△ABP的面積與△ABC的面積相等，
∴S_△ABP=S_△POB+S_△AOB-S_△AOP=

1

2

OB•OE+

1

2

OB•OA-

1

2

OA•PE=

1

2

×4×（-a）+

1

2

×4×4

3

-

1

2

×4

3

×2=32，
解得a=-16+2

3

．
綜上所述a的值為a₁=16+2

3

，a₂=-16+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、梯形的面積公式及三角形的面積公式，在解答（3）時(shí)要注意分類討論，不要漏解．