Question

已知拋物線y=x² + 1(如圖所示)．

 (1)填空：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(______，______)，對稱軸是_____；

 (2)已知y軸上一點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．若△PAB是等邊三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

 (3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線AP上．在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對稱軸是y軸（或x=0）（2）（，4）或（－ ，4）（3）存在。所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。

【解析】解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），對稱軸是y軸（或x=0）。

（2）

 

∵△PAB是等邊三角形，

∴∠ABO=90°－60°=30°。

∴AB=2OA=4�！郟B=4。

把y=4代入y=x²+1，得 x=±。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）或（－ ，4）。

（3）存在。所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為

(，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。

（1）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可。

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

（3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即可得到有關(guān)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)：設(shè)存在點(diǎn)M使得OAMN是菱形，

∵∠OAP＞90⁰，∴OA不可能為菱形的對角線，只能為菱形的邊。

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），

設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b，則，解得： 。 

∴AP所在直線的解析式為：y=x+2。

∵點(diǎn)M在直線AP上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m， m+2）。

如圖，作MH⊥y軸于點(diǎn)H，

則MH= m，AN=OH－OA=m+2－2=m。

∵OA為菱形的邊，∴AM=AO=2。

∴在Rt△AMH中，AH²+MH²=AM²，即：m²+（m）²=2²，

解得：m=±�！郙（，3）或（－，1）。

當(dāng)M（，3）時，N（，1）；當(dāng)M（－，1）時，N（－，－1）。

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－，4），同理可得N的坐標(biāo)為（－，1）或（，－1）。

綜上所述，存在點(diǎn)N（，1），（－，－1），（－，1），（，－1），使得

四邊形OAMN是菱形。