Question

如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，點E是OA上任意的一點，連接BE、DE．CG⊥DE于點G，交OD于點F，連接EF．求證：四邊形EBCF是等腰梯形．

Answer 1

考點：等腰梯形的判定

專題：證明題

分析：先根據(jù)正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O得出AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠BCD的平分線，故可得出BE=DE，∠EBO=∠EDO，再根據(jù)CG⊥DE于點G可知∠OCF+∠CEG=90°，再由∠CEG+∠EDO=90°可知∠EDO=∠OCF，故∠EBO=∠EDO，再由ASA定理可得出△OBE≌△OCF，故OE=OF，由此可得出BE=CF，再由BF=CE可知EF∥BC，由此可得出結(jié)論．

解答：證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，
∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠BCD的平分線，
∴BE=DE，∠EBO=∠EDO．
∵CG⊥DE于點G，
∴∠OCF+∠CEG=90°，
∵∠CEG+∠EDO=90°，
∴∠EDO=∠OCF，
∴∠EBO=∠EDO，
在△OBE與△OCF中，
∵

∠EBO=∠FCO OB=OC ∠BOE=∠COF

，
∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF．
∵OB=OC，
∴BE=CF，
∵OB=OC，
∴BF=CE，
∴EF∥BC，
∴四邊形EBCF是等腰梯形．

點評：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和等腰梯形的判定，解決本題的關(guān)鍵就是證明△OBE≌△OCF
進而得出結(jié)論．