Question

如圖，△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DK∥AB交BC于點(diǎn)E，且DK=BC，連接BK、CK．
（1）求證：△BDK≌△DBC．
（2）如圖2，若∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=2

3

，求四邊形BDCK的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠CBD=∠BDK，用邊角邊判定全等三角形方法即可證明△BDK≌△DBC；
（2）作DF⊥BC，易證AD=DF，根據(jù)△BDK≌△DBC可得CD=BK，根據(jù)四邊形BDCK的面積=S_△BCK+S_△BCD即可解題．

解答：（1）證明：∵DK∥AB，
∴∠ABD=∠BDK，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDK，
∵在△BDK和△DBC中，

DK=BC ∠CBD=∠BDK BD=BD

，
∴△BDK≌△DBC，（SAS）；
（2）作DF⊥BC，

∵△BDK≌△DBC，
∴∠DBK=∠CDB，CD=BK，
∵∠CBD=∠BDK，
∴∠CBK=∠CDK=90°，
∴S_△BCK=

1

2

BC•BK=

1

2

BC•CD，
∵RT△ABD和RT△BFD中，BD=BD，∠ABD=∠CBD，
∴AD=DF，
∴S_△BCD=

1

2

BC•DF=

1

2

BC•AD，
∴四邊形BDCK的面積=S_△BCK+S_△BCD=

1

2

BC•CD+

1

2

BC•AD=

1

2

BC•（CD+AD）=

1

2

BC•AC，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=2

3

，
∴AC=2，BC=4，
∴四邊形BDCK的面積=

1

2

BC•AC=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BDK≌△DBC是解題的關(guān)鍵．