Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），且經過直線y=x-3與x軸的交點B及與y軸的交點C．
（1）求點B、C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）求拋物線的頂點M的坐標；
（4）在直線y=x-3上是否存在點P，使△CMP是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）在y=x-3中，分別令y=0和x=0，得
x=3和y=-3．
∴B（3，0），C（0，-3）；

（2）∵拋物線過點A（-1，0）、B（3，0），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線過點C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-3），
即 y=x²-2x-3；

（3）由y=x²-2x-3，得y=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點M（1，-4）；

（4）如圖，存在滿足條件的P₁（1，-2）和P₂（-1，-4），理由如下：
作MN⊥y軸于點N，則∠CNM=90°．
∵M（1，-4），C（0，-3），
∴MN=NC=1，
∴∠MCN=45°，
∵∠COB=90°，B（3，0），C（0，-3），
∴∠OCB=45°，
∴∠BCM=90°，
∴要使點P在直線y=x-3上，必有PC=MC．
∠MPC=∠CMP=45°，
則 過點M分別作x軸和y軸的垂線，交直線y=x-3于點P₁和P₂，
在y=x-3中，分別令x=1，y=-4，得y=-2，x=-1，
則 P₁（1，-2）和P₂（-1，-4）．
分析：（1）在y=x-3中，分別令y=0和x=0解方程即可求出B、C的坐標；
（2）將A、B、C的坐標代入拋物線中即可求得拋物線的解析式；
（3）根據（2）的拋物線的解析式用配方或公式法均可求出頂點坐標；
（4）作MN⊥y軸于點N，則∠CNM=90°，證明∠BCM=90°，設過點M分別作x軸和y軸的垂線，交直線y=x-3于點P₁和P₂，分別令x=1，y=-4，得y=-2，x=-1，即可求出滿足條件的P點坐標．
點評：本題考查了一次函數和二次函數的綜合題目，考查數形結合、分類討論的思想，此題是一道以函數為背景的綜合壓軸題，第1、2兩個小題較為容易，上手很輕松，想提醒大家的是在中考中應該對可能的情況進行逐一討論，才能盡量防止漏解，有時不成立的情況也會是一個得分點，這樣在考場上浪費不了多少時間，卻能避免失分的風險．