Question

20．如圖，一過(guò)原點(diǎn)的直線y=mx（m＞0）與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為C、D兩點(diǎn)，連接CD．
（1）四邊形ACDO的面積與四邊形BDCO的面積的數(shù)量關(guān)系是相等；
（2）求證：AB∥CD且AB=2CD；
（3）若k=8，當(dāng)m的大小發(fā)生變化時(shí)，四邊形ABDC的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出四邊形ABDC的面積；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由過(guò)原點(diǎn)的直線y=mx（m＞0）與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且AC⊥x軸，BD⊥y軸，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，可證得S_△OAC=S_△OBD，繼而證得結(jié)論；
（2）首先設(shè)A的坐標(biāo)為：（a，ma），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-a，-ma），易求得tan∠AOC=tan∠OCD=m，繼而證得AB∥CD，可得四邊形AODC是平行四邊形，求得OA=CD，同理可得OB=CD，則可證得結(jié)論；
（3）由k=8，可求得△OAC與△OBD的面積，又由四邊形AODC是平行四邊形，求得四邊形AODC的面積，繼而求得答案．

解答 （1）解：∵過(guò)原點(diǎn)的直線y=mx（m＞0）與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴S_△OAC=S_△OBD，
∴S_△OAC+S_△OCD=S_△OBD+S_△OCD，
∴S_{四邊形ACDO}=S_{四邊形BDCO}；
故答案為：相等；

（2）證明：設(shè)A的坐標(biāo)為：（a，ma），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-a，-ma），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（a，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，-ma），
∴tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{ma}{a}$=m，tan∠OCD=$\frac{OD}{OC}$=m，
∴∠AOC=∠OCD，
∴AB∥CD，
∵AC∥y軸，
∴四邊形AODC是平行四邊形，
∴OA=CD，
同理：OB=CD，
∴AB=2CD；

（3）解：不變．
理由：∵k=8，
∴S_△OAC=S_△OBD=$\frac{1}{2}$k=4，
∵四邊形AODC是平行四邊形，
∴S_{四邊形AODC}=2S_△OAC=8，
∴S_{四邊形ABDC}=S_△OBD+S_{四邊形AODC}=12．
∴若k=8，當(dāng)m的大小發(fā)生變化時(shí)，四邊形ABDC的面積不發(fā)生變化，面積等于12．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了反比例函數(shù)的k的幾何意義、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題以及平行四邊形的性質(zhì)與判定等知識(shí)．注意利用三角函數(shù)的知識(shí)證得∠AOC=∠OCD是關(guān)鍵．