Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，直線，點(diǎn)，點(diǎn)，動點(diǎn)在直線上，動點(diǎn)、在軸正半軸上，連接、、．

（1）若點(diǎn)，求直線的解析式；

（2）如圖，當(dāng)周長最小時，連接，求的最小值，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】(1)；（2）最小值為；P點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】

（1）設(shè)直線的解析式為，根據(jù)點(diǎn)M、Q的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k、b的值即可得答案；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)連接交軸于，交直線于，此時周長最小，根據(jù)題意可得點(diǎn)和的坐標(biāo)，即可求出直線的解析式，聯(lián)立y=x，即可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)，作于，作于，則，，，根據(jù)∠EAF的正弦值可得，根據(jù)垂線段最短可知，、、共線時，的值最小，可得，進(jìn)而可得直線AE和MK的解析式，聯(lián)立兩個解析式即可求出K點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求出MK和MQ的值，即可得答案.

（1）設(shè)直線的解析式為，

則有，

解得，

直線的解析式為．

（2）如圖中，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)連接交軸于，交直線于，此時周長最小．

由題意，，

直線的解析式為，

由，解得，

，

取點(diǎn)，作于，作于，則，，，

，

，

，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)、、共線時，的值最小，

∵，，

∴直線的解析式為，

設(shè)直線MK的解析式為y=kx+b,

，

∴k=,

把M點(diǎn)坐標(biāo)代入得：=×+b，

解得：b=，

直線的解析式為，

當(dāng)y=0時，=0，

解得：x=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）.

由，解得，

，

∴MK==，

MQ==

∴的最小值．此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．