【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點B(點A在原點的左側(cè),點B在原點的右側(cè)),與y軸交于點C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)如圖1,連接BC,點D是直線BC上方拋物線上的點,連接OD,CD.ODBC于點F,當SCOF:SCDF=3:2時,求點D的坐標.

(3)如圖2,點E的坐標為(0,),點P是拋物線上的點,連接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在點P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,請直接寫出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)D的坐標為(1,4)或(2,3);(3)P坐標為:(,)或(,).

【解析】

(1)OB=OC=3,則:B(3,0),C(0,-3),把B、C坐標代入拋物線方程,解得拋物線方程為:y=-x2+2x+3;

(2)SCOF:SCDF=3:2,則SCOF=SCOD,即:xD=xF,即可求解;

(3)分∠PBE或∠PEB等于2OBE兩種情況分別求解即可.

(1)OB=OC=3,則:B(3,0),C(0,﹣3),

B、C坐標代入拋物線方程,

解得拋物線方程為:y=﹣x2+2x+3;

(2)SCOF:SCDF=3:2,

SCOFSCOD,即:xDxF,

設(shè):F點橫坐標為3t,則D點橫坐標為5t,

F在直線BC上,

BC所在的直線方程為:y=﹣x+3,則F(3t,3﹣3t),

則:直線OF所在的直線方程為:y=x=x,

則點D(5t,5﹣5t),

D點坐標代入①,解得:t=,

則點D的坐標為(1,4)或(2,3);

(3)①如圖所示,當∠PEB=2OBE=2α時,

過點E作∠PEB的平分線交x軸于G點,PEx軸于H點,

則:∠PEQ=QEB=ABE=α,則∠HGE=2α,

設(shè):GB=m,則:OG=3﹣m,GE=m,

RtOGE中,由勾股定理得:EG2=OG2+OE2,

即:m2=(3﹣m)2+(2,解得:m=

則:GE=,OG=,BE=,

∵∠PEQ=ABE=α,EHG=EHG,∴△HGE∽△HEB,

,設(shè):GH=x,HE=4x,

RtOHE中,OH=OG﹣HG=x,OE=,EH=4x,

由勾股定理解得:x=,則:OH=,H(,0),

E、H兩點坐標代入一次函數(shù)表達式,

解得EH所在直線的表達式為:y=x﹣,

將上式與①聯(lián)立并解得:x=

則點P(,);

②當∠PBE=2OBE時,則∠PBO=EBO,

BE所在直線的k值為,則BE所在直線的k值為﹣,

則:PB所在的直線方程為:y=﹣x+3,

將上式與①聯(lián)立,解得:x=,(x=0已舍去),

則點P(),

故:點P坐標為:(或(,).

練習冊系列答案
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小紅和小陽進行了以下測量:如圖所示,小紅和小陽分別在樹的東西兩側(cè)同一地平線上,他們用手平托三角板,保持三角板的一條直角邊與地平面平行,然后前后移動各自位置,使目光沿著三角板的斜邊正好經(jīng)過樹的最高點,這時,測得小紅和小陽之間的距離為135米,他們的眼睛到地面的距離都是1.6米.

(1)請在指定區(qū)域內(nèi)畫出小紅和小陽測量古松樹高的示意圖;

(2)通過計算說明小紅和小陽誰的說法正確(計算結(jié)果精確到0.1)(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73,≈2.24)

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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(1)求直線AB的解析式;

(2)觀察圖象,當時,直接寫出的解集;

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A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③

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