Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

？
（2）是否存在時(shí)刻t，使A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

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9

作為相等關(guān)系；
（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

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9

，
由題意得DN=2x，AN=6-2x，AM=x，
∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，
∴AD=BC=6，CD=AB=3，
矩形ABCD的面積為：AB•AD=3×6=18，
△AMN的面積=

1

2

AN•AM=

1

2

•x(6-2x)=3x-x2=

1

9

×18，
可得方程x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
答：經(jīng)過1秒或2秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的

1

9

；

（2）由題意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，
若△NMA∽△ACD，
則有

AD

AN

=

CD

AM

，即

6

6-2x

=

3

x

，
解得x=1.5，
若△MNA∽△ACD
則有

AD

AM

=

CD

AN

，即

6

x

=

3

6-2x

，
解得x=2.4，
答：當(dāng)t=1.5秒或2.4秒時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運(yùn)用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會(huì)靈活的運(yùn)用．注意：一般關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可．