【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),A,B為x軸上兩點(diǎn),以AB為直徑的⊙M交y軸于C,D兩點(diǎn),C為的中點(diǎn),弦AE交y軸于點(diǎn)F,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),CD=8
(1)求⊙M的半徑;
(2)動(dòng)點(diǎn)P在⊙M的圓周上運(yùn)動(dòng).
①如圖1,當(dāng)FP的長度最大時(shí),點(diǎn)P記為P,在圖1中畫出點(diǎn)P0,并求出點(diǎn)P0橫坐標(biāo)a的值;
②如圖1,當(dāng)EP平分∠AEB時(shí),求EP的長度;
③如圖2,過點(diǎn)D作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A,B不重合時(shí),請(qǐng)證明為定值.
【答案】(1)r=5;(2)①點(diǎn)P0橫坐標(biāo)a的值等于3+2,②EP=7,③.
【解析】
(1)由垂徑定理可知OD=4,連接OD在Rt△OMD中用勾股定理即可求出r.
(2)①連接FM并延長交⊙M于點(diǎn)P,FP長度最大.由已知可得AF=CF,由勾股定理求OF=,過P點(diǎn)作PH⊥OB,△OFM∽△HPM,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求MH,即可求出P點(diǎn)橫坐標(biāo).
②過P點(diǎn)作PG⊥AE,連接AP、BP.當(dāng)EP平分∠AEB時(shí),可得△BAP和△EGP均為等腰直角三角形,由勾股定理可求PG=GE=7,進(jìn)而可得EP的長.
③由DQ與⊙M于D點(diǎn),可得△QMD∽△MDO,又MD=MP,可得,進(jìn)而證明△QMP∽△PMQ,即可由相似三角形性質(zhì)求解.
(1)如圖(1):連接OD,
∵直徑AB⊥CD,CD=8,
∴OD=CD=4,
連接MD設(shè)MD=MA=r,
在Rt△OMD中.由OM2+OD2=MD2,
得(r﹣2)2+42=r2.解得r=5,
(2)①如圖1(1),連接FM并延長交⊙M于點(diǎn)P記作P0,FP長度最大.
∵直徑AB⊥CD,C為的中點(diǎn),
∴.
∴∠ACF=∠CAF,
∴AF=CF,
在Rt△AFO中,OA=2,AF=CF=4﹣OF,
∴OF2+22=(4﹣OF)2,解得:OF=,
∴MF=,
過P點(diǎn)作PH⊥OB,
∴△OFM∽△HPM,
∴,
∴,
∴MH=,
∴點(diǎn)P0橫坐標(biāo)a的值等于3+.
②如圖1(2)
∵.
∴,
∴AE=CD=8,
∵AB是直徑,∴∠AEB=90°,
過P點(diǎn)作PG⊥AE,連接AP、BP.
當(dāng)EP平分∠AEB時(shí),∠BAP=∠BEP=∠AEP=∠ABP=45°,
△BAP和△EGP均為等腰直角三角形,∵AB=10,
∴AP=,
設(shè)EG=PG=b,在Rt△AGP中,PG2+AG2=AP2,
即:,
解得:b=7,b=1(舍去).
∴EP=EG=.
③如圖2:連接PM、DM,
∵DQ與⊙M于D點(diǎn),
∴∠MDQ=90°=∠DOM,
∴∠QMD=∠DMO,
∴△QMD∽△MDO,
∴,
又∵MD=MP,
∴,
又∵∠OMP=∠PMQ,
∴△QMP∽△PMQ,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上,AD與過點(diǎn)C的切線垂直,垂足為點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)連接BC,若cos∠CAD=,⊙O的半徑為5,求CD、AE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AO′B′,則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在讀書月活動(dòng)中,學(xué)校準(zhǔn)備購買一批課外讀物.為使課外讀物滿足同學(xué)們的需求,學(xué)校就“我最喜愛的課外讀物”從文學(xué)、藝術(shù)、科普和其他四個(gè)類別進(jìn)行了抽樣調(diào)查(每位同學(xué)只選一類),如圖是根
據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了 名同學(xué);
(2)條形統(tǒng)計(jì)圖中,m= ,n= ;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,藝術(shù)類讀物所在扇形的圓心角是 度;
(4)學(xué)校計(jì)劃購買課外讀物6000冊(cè),請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)學(xué)校購買其他類讀物多少冊(cè)比較合理?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在8×6的方格紙ABCD中,AB=6,每個(gè)小方格紙的頂點(diǎn)為格點(diǎn),請(qǐng)按要求畫出格點(diǎn)多邊形,且所畫格點(diǎn)多邊形的頂點(diǎn)均不與點(diǎn)A,B,C,D重合.
(1)在圖1中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形EFG,使得點(diǎn)E,F,G分別在AB,BC,AD上,且∠EFG=90°,
(2)在圖2中畫一個(gè)四邊形EFGH,使點(diǎn)F為邊BC的中點(diǎn),E,G,H分別落在邊AB,CD,DA上,且EG⊥FH,∠AEG≠90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】央視“經(jīng)典詠流傳”開播以來受到社會(huì)廣泛關(guān)注,我市也在各個(gè)學(xué)校開展了傳承經(jīng)典的相關(guān)主題活動(dòng)“戲曲進(jìn)校園”.某校對(duì)此項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查,對(duì)收集的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了下面兩副尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖所提供的信息解答下列問題:
圖中A表示“很喜歡”,B表示“喜歡”,C表示“一般”,D表示“不喜歡”.
(1)被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是 人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中B部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為 ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該校共有學(xué)生1800人,請(qǐng)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生中A類有多少人;
(3)在A類5人中,剛好有3個(gè)女生2個(gè)男生,從中隨機(jī)抽取兩個(gè)同學(xué)擔(dān)任兩角色,用樹狀圖或列表法求出被抽到的兩個(gè)學(xué)生性別相同的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC,P是母線AC的中點(diǎn).則在圓錐的側(cè)面上從B點(diǎn)到P點(diǎn)的最短路線的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小明在C處看到西北方向上有一涼亭A,北偏東°的方向上有一棵大樹B,已知涼亭A在大樹B的正西方向,若BC=米,則A、B兩點(diǎn)相距 ( )
A.米B.米
C.米D.米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+2x+m+1(m為常數(shù))交y軸于點(diǎn)A,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2和3之間,頂點(diǎn)為B.
①拋物線y=-x2+2x+m+1與直線y=m+2有且只有一個(gè)交點(diǎn);
②若點(diǎn)M(-2,y1)、點(diǎn)N(,y2)、點(diǎn)P(2,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y2<y3;
③將該拋物線向左平移2個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,所得拋物線解析式為y=-(x+1)2+m;
④點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)D、E分別在x軸和y軸上,當(dāng)m=1時(shí),四邊形BCDE周長的最小值為.
其中正確判斷有( )
A.①②③④B.②③④C.①③④D.①③
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