Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點C、D、E是半圓弧上的點，且弦AC=CD=2，弦DE=EB=

2

，則直徑AB的長是（　�。�

• A、2

  5

• B、2

  2

• C、3

  2

• D、4

  2

Answer 1

考點：圓心角、弧、弦的關系,勾股定理,等腰直角三角形

專題：計算題

分析：連結CE，過點C作CH⊥DE于H，如圖，設半圓O的半徑為r，由于AC=CD=2，弦DE=EB=

2

，根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，則∠COE=90°，于是可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE=

2

OC=

2

r，再根據(jù)圓周角定理得∠1=

1

2

∠DOE，∠2=

1

2

∠COD，則∠1+∠2=

1

2

∠COE=45°，于是根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠3=∠1+∠2=45°，所以△CDH為等腰直角三角形，得到CH=DH=

2

2

CD=

2

，然后在Rt△CHE中根據(jù)勾股定理計算出CE=

10

，即有

2

r=

10

，求出r則可得到AB的長．

解答：解：連結CE，過點C作CH⊥DE于H，
如圖，設半圓O的半徑為r，
∵AC=CD=2，弦DE=EB=

2

，
∴∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，
∴∠COD+∠DOE=

1

2

∠AOB=90°，即∠COE=90°，
∴△OCE為等腰直角三角形，
∴CE=

2

OC=

2

r，
∵∠1=

1

2

∠DOE，∠2=

1

2

∠COD，
∴∠1+∠2=

1

2

∠COE=45°，
∴∠3=∠1+∠2=45°，
∴△CDH為等腰直角三角形，
∴CH=DH=

2

2

CD=

2

，
∴EH=DE+DH=2

2

，
在Rt△CHE中，CE=

CH2+HE2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

，
∴

2

r=

10

，
∴r=

5

，
∴AB=2r=2

5

．
故選A．

點評：本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)．