Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)AM=0.5時(shí)，求線段QM的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若可以，請(qǐng)直接寫出t的值（不需解題步驟）；若不可以，請(qǐng)說明理由．
（3）若△PCQ的面積為y，請(qǐng)求y關(guān)于出t的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線平行得出Rt△AQM∽R(shí)t△CAD，再利用對(duì)應(yīng)邊的比值相等求出即可；
（2）點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，可利用三邊關(guān)系得出；
（3）分當(dāng)0≤t≤2時(shí)與當(dāng)6≥t＞2時(shí)，進(jìn)行討論得出符合要求的答案．
解答：解：（1）∵AB∥DC，
∴Rt△AQM∽R(shí)t△CAD．
∴．
即，
∴QM=1．

（2）∵根據(jù)題意可得當(dāng)0≤t≤2時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)可以構(gòu)成三角形為直角三角形，故有兩種情況：
①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，
此時(shí)DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，
②當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，如備用圖1，
此時(shí)Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA，∴，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴，
∴；
③當(dāng)2＜t≤6時(shí)，
可得CD=DP=2時(shí)，∠DCP=45°，
可以使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，
此時(shí)t=4，
綜上所述，t=1或或4；


（3）如圖1，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P在線段CD上，設(shè)直線l交CD于點(diǎn)E
由（1）可得．
即，
∴QM=2t．
∴QE=4-2t．
∴S_△PQC=PC•QE=-t²+2t，
即y=-t²+2t，
當(dāng)6≥t＞2時(shí)，如圖3，過點(diǎn)C作CF⊥AB交AB于點(diǎn)F，交PQ于點(diǎn)H．
PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t．
由題意得，BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA．
∴四邊形AMQP為矩形．
∴PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6-t
∴CH=AD-HF=t-2，
∴S_△PQC=PQ•CH=，
即y=，
綜上所述y=-t²+2t（0≤t≤2），
或y=（2＜t≤6）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及直角三角形的判定等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，分類討論時(shí)要考慮全面，根據(jù)t的取值范圍進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵．