Question

如圖，H、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且BH=BQ，過B作HC的垂線，垂足為P．求證：DP⊥PQ．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先證明△BPC∽△HBC，得到CP/BC=BP/BH=BC/HC，進而證明CP/CD=BP/BQ；由∠PCD=∠BHC=∠PBC，證明△BPQ∽△PDC，得到∠BPQ=∠CPD，即可解決問題．

解答：解：如圖，∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=CD，AB∥CD；∠ABC=∠BCD；
∴∠PCD=∠BHC；
∵BP⊥HC，
∴∠PBC+∠BCH=90°，而∠PBC+∠PBH=90°，
∴∠PBC=∠BHC，∠HCB=∠BCP，
∴△BPC∽△HBC；
∴CP：BC=BP：BH=BC：HC，
∵BH=BQ，BC=CD，
∴CP：CD=BP：BQ，而∠PCD=∠BHC=∠PBC，
∴△BPQ∽△PDC，
∴∠BPQ=∠CPD，∠CPD+∠QPC=90°，
∴DP⊥PQ．

點評：該題以正方形為載體，以考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．