Question

如圖，圖①中圓與正方形各邊都相切，設(shè)這個(gè)圓的周長為C₁；圖②中的四個(gè)圓的半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設(shè)這四個(gè)圓的周長為C₂；圖③中的九個(gè)圓的半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設(shè)這九個(gè)圓的周長為C₃；…，依次規(guī)律，當(dāng)正方形邊長為2時(shí)，則C₁+C₂+C₃+…C₉₉+C₁₀₀=

10100π

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的周長公式求出C₁=2π×1，C₂=2π×2；，C₃=2π×3；推出C₁₀₀=2π×100，代入C₁+C₂+C₃+…+C₉₉+C₁₀₀，得出2π×1+2π×2+2π×3+2π×4+…+2π×99+2π×100，求出即可．

解答：解：C₁=2π×

1

2

×2=2π=2π×1；
C₂=2π×

1

2

×

1

2

×2×4=4π=2π×2；
C₃=2π×

1

3

×

1

2

×2×9=6π=2π×3；
C₄=2π×

1

4

×

1

2

×2×16=8π=2π×4；
…
C₁₀₀=2π×100=200π，
∴C₁+C₂+C₃+…+C₉₉+C₁₀₀
=2π×1+2π×2+2π×3+2π×4+…+2π×99+2π×100
=2π（1+2+3+4+…+99+100）
=10100π．
故答案為：10100π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相切兩圓的性質(zhì)和圖形的變化類的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律（C_n=2π×n），題型較好，有一點(diǎn)難度．