【題目】如圖,已知直線l:y=﹣x+8交x軸于點E,點A為x軸上的一個動點(點A不與點E重合),在直線l上取一點B(點B在x軸上方),使BE=5AE,連結AB,以AB為邊在AB的右側作正方形ABCD,連結OB,以OB為直徑作⊙P.
(1)當點A在點E左側時,若點B落在y軸上,則AE的長為 ,點D的坐標為 ;
(2)若⊙P與正方形ABCD的邊相切于點B,求點B的坐標;
(3)⊙P與直線BE的交點為Q,連結CQ,當CQ平分∠BCD時,BE的長為 .(直接寫出答案)
【答案】(1)2,(12,4);(2)滿足條件的點B的坐標為(﹣12,24)或(,)或(,);(3).
【解析】
(1)如圖1中,作DG⊥x軸于G.通過證明△OBA≌△DAG即可得出點D的坐標;
(2)分三種種情形:如圖2中,當點A與原點O重合時,⊙P與BC相切于點B,AE=6,如圖4中,當OB⊥AB時,⊙P與AB相切于點B,作BH⊥OA于H.分別求解即可,如圖4中,當點E在點A的右側時,作BH⊥OA于H.利用相似三角形的性質求解即可;
(3)如圖5,作BG⊥OA于點G,連結OQ.設AE=m,則BE=5m,得到BG=4m,EG=3m,AG=2m,求得B(6﹣3m,4m),C(m+6,6m),A(6﹣m,0),得到直線OQ的解析式為,求得,推出C,Q,A三點共線,解方程即可得到結論.
解:(1)如圖1中,作DG⊥x軸于G.
由題意:E(6,0),B(0,8),
∴OE=6,OB=8,
∴BE==10,
∵BE=5AE,
∴AE=2,
∴OA=4,
∵∠OBA+∠OAB=∠OAB+∠DAG=90,
∴∠BAO=∠DAG,
∵AB=DA,∠AOB=∠DGA,
∴△OBA≌△DAG(AAS),
∴DG=OA=4,OB=AG=8,
∴OG=OA+AG=12,
∴D(12,4),
故答案為2,(12,4);
(2)如圖2中,當點A與原點O重合時,⊙P與BC相切于點B,AE=6,
∵BE=5AE,
∴BE=30,可得B(﹣12,24).
如圖3中,當OB⊥AB時,⊙P與AB相切于點B,作BH⊥OA于H.
設AE=m,則BE=5m,BH=4m,EH=3m,
∴BH=AH=4m,
∴∠BAO=45°,
∵∠OBA=90°,
∴∠BOA=45°,
∴點B的橫坐標與縱坐標相同,可得B(,),
如圖4中,當點E在點A的右側時,作BH⊥OA于H.
設BE=5m,AE=m,則BH=4m,AEH=3m,AH=2m,
∵∠OBA=∠OHB=90°,
由△OHB∽△BHA,可得BH2=OHAH,
∴16m2=(6﹣3m)2m,
解得m=,
∴B(,)
綜上所述,滿足條件的點B的坐標為(﹣12,24)或(,)或(,);
(3)如圖5,作BG⊥OA于點G,連結OQ.
設AE=m,則BE=5m,
∴BG=4m,EG=3m,AG=2m,
∴B(6﹣3m,4m),C(m+6,6m),A(6﹣m,0),
∵OQ⊥直線l,且過圓心O,
∴直線OQ的解析式為,
∴,
∵CQ平分∠BCD,
∴C,Q,A三點共線,
∴,
解得,
∴,
span>∴,
故答案為:.
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【題目】如圖示二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸在y軸的右側,其圖象與x軸交于點A(﹣1,0)與點C(x2,0),且與y軸交于點B(0,﹣2),小強得到以下結論:①0<a<2;②﹣1<b<0;③c=﹣1;④當|a|=|b|時x2>﹣1;以上結論中正確結論的序號為 .
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點O在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△ABD∽△DCP;
(3)當AB=5cm,AC=12cm時,求線段PC的長.
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【題目】已知拋物線y=-x2+bx+c經過點B(-1,0)和點C(2,3).
(1)求此拋物線的函數表達式;
(2)如果此拋物線上下平移后過點(-2,-1),請直接寫出平移的方向和平移的距離.
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【題目】如圖,∠MAN=60°,若△ABC的頂點B在射線AM上,且AB=2,點C在射線AN上運動,當△ABC是銳角三角形時,BC的取值范圍是_____.
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【題目】小高發(fā)現電線桿 AB 的影子落在土坡的坡面CD和地面 BC上,量得 CD= 12 米 , BC= 20 米 ,CD與地面成30°角,且此時測得1米桿的影長為2 米,求電線桿的高度.(結果保留根號)
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【題目】某校為了解學生對排球、羽毛球、足球、籃球(以下分別用A、B、C、D表示)這四種球類運動的喜好情況.對全體學生進行了抽樣調查(每位學生只能選一項最喜歡的運動),并將調查情況繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據以上信息回答下面問題:
(1)本次參加抽樣調查的學生有 人.
(2)補全兩幅統(tǒng)計圖.
(3)若從本次參加抽樣調查的學生中任取1人,則此人喜歡哪類球的概率最大?求其概率.
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【題目】某區(qū)教科院想了解該區(qū)中考數學試題中統(tǒng)計題的得分情況,從甲、乙兩所學校各隨機抽取了20名學生的學生成績如下.(該題滿分10分,學生得分均為整數)甲學校20名學生成績(單位:分)分別為:7,7,8,9,8,6,7,8,8,10,7,9,6,8,7,8,9,7,8,9.乙學校20名學生學生成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示:
經過對兩校這20名學生成績的整理,得到分析數據如下表:
組別 | 極差 | 平均分 | 中位數 | 方差 |
甲 | 4 | b | 8 | 1.05 |
乙 | a | 7.8 | c | 2.46 |
(1)求出表中的a、b、c的值.
(2)該題得分8分及其以上即為優(yōu)秀,已知甲學校有1200人,請估算甲學校的優(yōu)秀人數有多少人?
(3)請你結合以上分析數據說明試題中統(tǒng)計題得分優(yōu)秀的理由.
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【題目】請從以下(A)、(B)兩題中任選一個解答.
(A)已知:拋物線交軸于點和點,交軸于點.
(1)拋物線的解析式為_____________;
(2)點為第一象限拋物線上一點,是否存在使面積最大的點?若不存在,請說明理由,若存在,求出點的坐標;
(3)點的坐標為,連接將線段繞平面內某一點旋轉得線段(點分別與點對應),使點都在拋物線上,請直接寫點的坐標.
(B)如圖,已知拋物線與軸從左至右交于兩點,與軸交于點.
(1)拋物線的解析式為___________:
(2)是第一象限內拋物線上的一個動點(與點不重合),過點作軸于點交直線于點,連接,直線能否把分成面積之比為的兩部分?若能,請求出點的坐標;若不能,請說明理由;
(3)若為拋物線對稱軸上一動點,為直角三角形,請直接寫出點的坐標.
我選做的是______.
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