Question

【方法介紹】
同學(xué)們，生活中的很多實(shí)際問題，我們往往抽象成數(shù)學(xué)問題，然后通過數(shù)形結(jié)合建立數(shù)學(xué)模型的方式來解決．
例如：學(xué)校舉辦足球賽，共有五個(gè)球隊(duì)參加比賽，每個(gè)隊(duì)都要和其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，問該學(xué)校一共要安排多少場(chǎng)比賽？
這是一個(gè)實(shí)際問題，我們可以在平面內(nèi)畫出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），如圖①所示，其中每個(gè)點(diǎn)各代表一個(gè)足球隊(duì)，兩個(gè)隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段把它們連起來，其中連接線段的條數(shù)就是安排比賽的場(chǎng)數(shù)．這樣模型就建立起來了，如何解決這個(gè)模型呢？由于每個(gè)隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，即每個(gè)點(diǎn)都要與另外4點(diǎn)連接一條線段，這樣5個(gè)點(diǎn)應(yīng)該有5×4=20條線段，而每?jī)蓚�(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有10條線段，所以學(xué)校一共要安排10場(chǎng)比賽．

【學(xué)以致用】
（1）根據(jù)圖②回答：如果有6個(gè)班級(jí)的足球隊(duì)參加比賽，學(xué)校一共要安排

 

場(chǎng)比賽；
（2）根據(jù)規(guī)律，如果有n個(gè)班級(jí)的足球隊(duì)參加比賽，學(xué)校一共要安排

 

場(chǎng)比賽．
【問題解決】
（1）小明今年參加了學(xué)校新組建的合唱隊(duì)，老師讓所有人每?jī)扇讼嗷ノ帐�，認(rèn)識(shí)彼此（每?jī)扇酥�間不重復(fù)握手）．小明發(fā)現(xiàn)所有人握手次數(shù)總和為91次，那么合唱隊(duì)有多少人？
（2）A、B、C、D、E、F六人參加一次會(huì)議，見面時(shí)他們相互握手問好，每?jī)扇酥�間不重復(fù)握手，如圖③，已知A已經(jīng)握了5次，B已經(jīng)握了4次，C已經(jīng)握了3次，D已經(jīng)握了2次，E已經(jīng)握了1次，請(qǐng)利用圖③分析F已經(jīng)和哪些人握手了．
【問題拓展】
根據(jù)上述模型的建立和問題的解決，請(qǐng)你提出一個(gè)問題，并進(jìn)行解答．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：【學(xué)以致用】
（1）根據(jù)圖②可知學(xué)校一共要安排15場(chǎng)比賽；
（2）根據(jù)規(guī)律，如果有n個(gè)班級(jí)的足球隊(duì)參加比賽，學(xué)校一共要安排

n(n-1)

2

場(chǎng)比賽．
【問題解決】
（1）設(shè)合唱隊(duì)有x人，利用以上規(guī)律建立方程求得答案即可；
（2）直接畫圖解決問題即可；
【問題拓展】
提出問題：有10支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)隊(duì)都恰好與其他隊(duì)各比賽一場(chǎng)，勝者得3分，負(fù)者得0分，平局兩隊(duì)各的1分．比賽結(jié)束后，全部球隊(duì)的總積分是120分，那么比賽中平局的場(chǎng)數(shù)共有多少？
進(jìn)一步解決問題即可．

解答：解：學(xué)以致用：（1）學(xué)校一共要安排15場(chǎng)比賽；
（2）根據(jù)規(guī)律，如果有n個(gè)班級(jí)的足球隊(duì)參加比賽，學(xué)校一共要安排

n(n-1)

2

場(chǎng)比賽．
【問題解決】：（1）設(shè)合唱隊(duì)有x人，則

x(x-1)

2

=91，
解方程得x₁=14，x₂=-13（不合題意舍去）
答：合唱隊(duì)有14人． 
（2）如圖：

F和ABC握手了．        
問題拓展：
有10支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，每個(gè)隊(duì)都恰好與其他隊(duì)各比賽一場(chǎng)，勝者得3分，負(fù)者得0分，平局兩隊(duì)各的1分．比賽結(jié)束后，全部球隊(duì)的總積分是120分，那么比賽中平局的場(chǎng)數(shù)共有多少？
解：共要比賽：

1

2

10×（10-1）=45（場(chǎng)），
設(shè)平局場(chǎng)次為x，則分出勝負(fù)的場(chǎng)次為45-x，可得方程：
3×（45-x）+2x=120，
     135-3x+2x=120，
             x=15．
答：平局的場(chǎng)數(shù)共有15場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，利用圖形來研究數(shù)學(xué)問題，變得簡(jiǎn)單易懂，在直觀中找出規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．