Question

已知：二次函數(shù)y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上．
（1）試判斷這個二次函數(shù)圖象的開口方向，并說明你的理由；
（2）求證：函數(shù)y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸必有兩個不同的交點；
（3）如果函數(shù)y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸相交于點A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸相交于點C，且△ABC的面積等于2．求這個函數(shù)的解析式？

Answer 1

分析：（1）本題需根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點在x軸上得出4m²-4（n-1）=0，從而得出n-1＞0，證出拋物線開口向上．
（2）本題需先求出△的值，再證明△＞0即可得出函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點．
（3）本題需根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出式子，求出AB的長，列出方程求m²與n即可求出這個函數(shù)的解析式．

解答：（1）∵二次函數(shù)y=（n-1）x²+2mx+1圖象的頂點在x軸上，
∴n-1≠0，△=4m²-4（n-1）=0．
∴m²=n-1≠0．
又∵m²≥0，∴n-1＞0．
∴這個函數(shù)圖象的開口方向向上．
（2）∵m²≠0，
∴這個函數(shù)是二次函數(shù)．△=4（n-1）²+4m²．
∵m²=n-1≠0，∴（n-1）²＞0，m²＞0．
∴△＞0．
∴函數(shù)y=m²x²+2（n-1）x-1的圖象與x軸必有兩個不同的交點．
（3）由題意，得x1+x2=-

2(n-1)

m2

，x1x2=-

1

m2

．
∵m²=n-1，∴x1+x2=-

2(n-1)

m2

=-2．
而AB=|x₁-x₂|，點C的坐標(biāo)為（0，-1）．
∴

1

2

|x1-x2|×1=2．
∴|x₁-x₂|=4．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2+

4

m2

=16．
∴m2=

1

3

．
∴n-1=

1

3

．
∴所求的函數(shù)解析式為y=

1

3

x2+

2

3

x-1．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與x軸的交點，在解題時要能根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點列出式子求出答案是本題的關(guān)鍵．