Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C，直線y=﹣2x﹣1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（﹣2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E．

（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）判斷直線BE與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）求證：CD垂直平分BE；
（4）若P是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBE是等腰直角三角形，且∠PEB=90°？若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)B（﹣2，m）在直線上y=﹣2x﹣1上，

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=3，

∴B（﹣2，3）．

∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對(duì)稱軸為x=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．

設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=ax（x﹣4），

將點(diǎn)B（﹣2，3）代入上式，

3=﹣2a×（﹣2﹣4），解得：a= ，

∴所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y= x（x﹣4）= x2﹣x

（2）

解：將y=﹣2x﹣1代入y= x2﹣x，得： x2﹣x=﹣2x﹣1，

整理得：x2+4x+4=0，

∴△=42﹣4×1×4=0，

∴直線BE與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)

（3）

解：證明：當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣2x﹣1=﹣5，

∴E（2，﹣5）．

∵C（2，0），B（﹣2，3），

∴CE=0﹣（﹣5）=5，CB= =5，

∴CE=CB．

∵D（0，﹣1），B（﹣2，3），E（2，﹣5），

∴BD= =2 ，DE= =2 ，

∴BD=DE，

∴CD垂直平分BE

（4）

解：不存在，理由如下：

過(guò)點(diǎn)E作ME⊥BE交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥直線x=2于點(diǎn)N，如圖所示．

∵B（﹣2，3），E（2，﹣5），

∴BN=2﹣（﹣2）=4，EN=3﹣（﹣5）=8，CE=0﹣（﹣5）=5．

∵∠BEN+∠EBN=90°，∠BEN+∠MEC=90°，

∴∠EBN=∠MEC，

∴△EBN∽△MEC，

∴ ，

∴MC=10，

∴M（12，0）．

設(shè)直線EM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），

將E（2，﹣5）、M（12，0）代入y=kx+b，

，解得： ，

∴直線EM的函數(shù)關(guān)系式為y= x﹣6．

將y= x﹣6代入y= x2﹣x，得： x2﹣x= x﹣6，

整理得：x2﹣6x+24=0，

∴△=（﹣6）2﹣4×1×24=﹣60＜0，

∴直線EM與拋物線無(wú)交點(diǎn)，

∴不存在滿足條件的點(diǎn)P．

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)O的坐標(biāo)結(jié)合拋物線的對(duì)稱軸即可找出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax（x﹣4），代入點(diǎn)B的坐標(biāo)求出a值即可；（2）將直線BE的函數(shù)關(guān)系式代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式中可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式△=0，即可得出直線BE與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）根據(jù)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出CE=CB，再根據(jù)點(diǎn)B、D、E的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出BD=DE，根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證出CD垂直平分BE；（4）過(guò)點(diǎn)E作ME⊥BE交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥直線x=2于點(diǎn)N，則△EBN∽△MEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn)E、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線EM的函數(shù)關(guān)系式，將其代入拋物線的函數(shù)關(guān)系式中可得出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式△=﹣60＜0，即可得出直線EM與拋物線無(wú)交點(diǎn)，由此得出不存在滿足條件的點(diǎn)P．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．