Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH、BE與相交于點(diǎn)G，以下結(jié)論中正確的結(jié)論有（　�。�
（1）△ABC是等腰三角形             （2）BF=AC
（3）BH：BD：BC=1：

2

：

3

        （4）GE²+CE²=BG²．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=∠CBE，根據(jù)等角的余角相等求出∠A=∠BCA，再根據(jù)等角對等邊可得AB=BC，從而得證；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根據(jù)AAS證出△BDF≌△CDA即可；
（3）根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行解答；
（4）由（2）得出BF=AC，再由BF平分∠DBC和BE⊥AC通過ASA證得△ABE≌△CBE，即得CE=AE=

1

2

AC，連接CG，由H是BC邊的中點(diǎn)和等腰直角三角形△DBC得出BG=CG，再由直角△CEG得出CG²=CE²+GE²，從而得出CE，GE，BG的關(guān)系．

解答：解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠A=90°，∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
故（1）正確；

（2）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中

∠BDF=∠CDA ∠A=∠DFB BD=CD

，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；
故（2）正確；

（3）∵在△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，
∴∠DCB=45°，
∴BD=CD，BC=

2

BD．
由點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，
∴DH=BH=CH=

1

2

BC，
∴BD=

2

BH，
∴BH：BD：BC=BH：

2

BH：2BH=1：

2

：2．
故（3）錯誤；

（4）由（2）知：BF=AC，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE與△CBE中，

∠ABE=∠CBE ∠AEB=∠CEB BE=BE

，
∴△ABE≌△CBE（AAS），
∴CE=AE=

1

2

AC，
∴CE=

1

2

AC=

1

2

BF；
連接CG．
∵BD=CD，H是BC邊的中點(diǎn)，
∴DH是BC的中垂線，
∴BG=CG，
 在Rt△CGE中有：CG²=CE²+GE²，
∴CE²+GE²=BG²．
故（4）正確．
綜上所述，正確的結(jié)論由3個．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．