Question

如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點．
思考
如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設∠MOP=α．
當α=

 

度時，點P到CD的距離最小，最小值為

 

．
探究一
在圖1的基礎上，以點M為旋轉中心，在AB，CD 之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動為止，如圖2，得到最大旋轉角∠BMO=

 

度，此時點N到CD的距離是

 

．
探究二
將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉．
（1）如圖3，當α=60°時，求在旋轉過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉角∠BMO的最大值；
（2）如圖4，在扇形紙片MOP旋轉過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍．
（參考數椐：sin49°=

3

4

，cos41°=

3

4

，tan37°=

3

4

．）

Answer 1

分析：思考：根據兩平行線之間垂線段最短，以及切線的性質定理，直接得出答案；
探究一：根據由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋轉角∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是 2；
探究二：（1）由已知得出M與P的距離為4，PM⊥AB時，點MP到AB的最大距離是4，從而點P到CD的最小距離為6-4=2，即可得出∠BMO的最大值；
（2）分別求出α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范圍．

解答：解：思考：根據兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當α=90度時，點P到CD的距離最小，
∵MN=8，
∴OP=4，
∴點P到CD的距離最小值為：6-4=2．
故答案為：90，2；


探究一：∵以點M為旋轉中心，在AB，CD 之間順時針旋轉該半圓形紙片，直到不能再轉動為止，如圖2
∵MN=8，MO=4，OY=4，
∴UO=2，
∴得到最大旋轉角∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是 2；

探究二
（1）∵α=60°，
∴△MOP是等邊三角形，
∴MO=MP=4，
∴PM⊥AB時，點P到AB的最大距離是4，
由已知得出M與P的距離為4，
從而點P到CD的最小距離為6-4=2，
當扇形MOP在AB，CD之間旋轉到不能再轉時，弧MP與AB相切，
此時旋轉角最大，∠BMO的最大值為90°；

（2）如圖3，由探究一可知，點P是弧MP與CD的切點時，α最大，即OP⊥CD，此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如圖4，當點P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD，α達到最小，
連接MP，作HO⊥MP于點H，由垂徑定理，得出MH=3，在Rt△MOH中，MO=4
∴sin∠MOH=

MH

OM

=

3

4

，
∴∠MOH=49°，
∵α=2∠MOH，
∴α最小為98°，
∴α的取值范圍為：98°≤α≤120°．

點評：此題主要考查了切線的性質定理以及平行線之間的關系和解直角三角形等知識，根據切線的性質求解是初中階段的重點題型，此題考查知識較多綜合性較強，注意認真分析．