如圖①,點C將線段AB分成兩部分,如果,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1、S2,如果,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.

1.研究小組猜想:在△ABC中,若點D為AB邊上的黃金分割點,如圖②所示,則直線CD是△ABC的黃金分割線.你認為對嗎?為什么?

2.請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?

3.研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn):過點C任意作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF,如圖③所示,則直線EF也是△ABC的黃金分割線.請你說明理由.

4.如圖④,點E是□ABCD的邊AB上的黃金分割點,過點E作EF∥AD,交DC于點F,顯然直線EF是□ABCD的黃金分割線,請你畫一條□ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過□ABCD各邊黃金分割點.

 

【答案】

 

1.對。三角形面積=底×高!鰽BC面積一定,在AB邊上的高一定,那么AD:AB=S△ADC:S△ABC=BD:AD=S△BCD:S△ACD ,符合圖形的黃金分割線定義。

2.否。三角形的中線將三角形的面積等分。設原三角形面積為S,則中線分割后的兩個三角形面積分別為,不滿足圖形的黃金分割線定義。

3.過D作BC邊上的高DD‘交BC于D'。過E作BC邊上的高EE’交BC于E'。 因為DF‖CE,所以BF:BC=BD:BE,

因為DD'‖EE',所以BD:BE=DD‘:EE’,

因為 S△BCD=×EE'×BC

    S△BEF=×DD'×BF

所以S△BCD:S△BEF=1:1=1    即S△BCD=S△BEF

根據(jù)(1)及圖形的黃金分割線定義,EF也是黃金分割線。

4.過FE中點,與AB、CD分別相交即可

【解析】結(jié)合線段的黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析計算;

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,點C將線段AB分成兩部分,如果
AC
AB
=
BC
AC
,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.
(1)某研究小組在進行課題學習時,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1,S2,如果
S1
S
=
S2
S1
,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.(如圖2)精英家教網(wǎng)
問題.試在圖3的梯形中畫出至少五條黃金分割線,并說明理由.
(2)類似“黃金分割線”得“黃金分割面”定義:截面a將一個體積為V的圖形分成體積為V精英家教網(wǎng)1、V2的兩個圖形,且
V1
V
=
V2
V1
,則稱直線a為該圖形的黃金分割面.
問題:如圖4,長方體ABCD-EFGH中,T是線段AB上的黃金分割點,證明經(jīng)過T點且平行于平面BCGF的截面QRST是長方體的黃金分割面.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,點C將線段AB分成兩部分,如果
AC
AB
=
BC
AC
,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1,S2,如果
S1
S
=
S2
S1
,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.
(1)研究小組猜想:在△ABC中,若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線.你認為對嗎?為什么?
(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?
(3)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn):過點C任作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線.請你說明理由.
(4)如圖4,點E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點,過點E作EF∥AD,交DC于點F,顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線.請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•黃石)如圖1,點C將線段AB分成兩部分,如果
AC
AB
=
BC
AC
,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.某數(shù)學興趣小組在進行課題研究時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1、S2,如果
S1
S
=
S2
S1
,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.
(1)如圖2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分線交AB于點D,請問點D是否是AB邊上的黃金分割點,并證明你的結(jié)論;
(2)若△ABC在(1)的條件下,如圖3,請問直線CD是不是△ABC的黃金分割線,并證明你的結(jié)論;
(3)如圖4,在直角梯形ABCD中,∠D=∠C=90°,對角線AC、BD交于點F,延長AB、DC交于點E,連接EF交梯形上、下底于G、H兩點,請問直線GH是不是直角梯形ABCD的黃金分割線,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,點C將線段AB分成兩部分,如果
AC
AB
=
BC
AC
,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1,S2,如果
S1
S
=
S2
S1
,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.

(1)研究小組猜想:在△ABC中,若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線.你認為對嗎?為什么?
(2)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn):過點C任作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線.請你說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(本小題滿分10分)如圖1,點C將線段AB分成兩部分,如果AB : AC=AC : BC,那么稱點C為線段的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1: S2,如果S : S1= S1: S2,,那么稱直線為該圖形的黃金分割線.

(1)研究小組猜想:在△ABC中,若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線.你認為對嗎?為什么?

(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?

(3)研究小組探究發(fā)現(xiàn):在(1)中,過點C任作AE交AB于E,再過點D作,交 AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF是△ABC的黃金分割線.請說明理由.

(4)如圖4,點E是ABCD的邊AB的黃金分割點,過點E作,交DC于點F,顯然直線EF是ABCD的黃金分割線.請你再畫一條ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過ABCD各邊黃金分割點(保留必要的輔助線).

 

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