【題目】我們定義:有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“湘一四邊形”.

1)已知:如圖1,四邊形是“湘一四邊形”,,.則 ,若,,則 (直接寫答案)

2)已知:在“湘一四邊形”中,,,.求對(duì)角線的長(zhǎng)(請(qǐng)畫圖求解),

3)如圖(2)所示,在四邊形中,若,當(dāng)時(shí),此時(shí)四邊形是否是“湘一四邊形”,若是,請(qǐng)說明理由:若不是,請(qǐng)進(jìn)一步判斷它的形狀,并給出證明.

【答案】185°,115°3;(2AC的長(zhǎng)為;(3)四邊形ABCD不是湘一四邊形,四邊形ABCD是平行四邊形,理由見解析

【解析】

1)連接BD,根據(jù)湘一四邊形的定義求出∠B,∠C,利用等腰三角形的判定和性質(zhì)證明BC=DC即可.
2)分兩種情形:①如圖1-1,∠B=D=90°時(shí),延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)E.②如圖2-1中,∠A=C=60°時(shí),過D分別作DEABE,DFBC于點(diǎn)F,分別求解即可解決問題.
3)結(jié)論:四邊形ABCD不是湘一四邊形,四邊形ABCD是平行四邊形.如圖2中,作CNADN,AMCBM.利用全等三角形的性質(zhì)證明AD=BC即可解決問題.

解:(1)如圖1中,連接BD

∵四邊形ABCD是湘一四邊形,∠A≠C,
∴∠B=D=85°,
∵∠A=75°,
∴∠C=360°-75°-2×85°=115°
AD=AB,
∴∠ADB=ABD
∵∠ADC=ABC,
∴∠CDB=CBD
BC=CD=3,
故答案為85°,115°,3
2)①如圖1-1,∠B=D=90°時(shí),延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)E,

∵∠DAB=60°,
∴∠E=30°
又∵AB=4AD=3
BE=4,AE=8DE=5,
CE=
BC=BE-CE=4 ,
AC=
②如圖2-1中,∠A=C=60°時(shí),過D分別作DEABE,DFBC于點(diǎn)F,

∵∠DAB=BCD=60°,
又∵AB=4,AD=3,
AE=,DE=BF= ,
BE=DF=,
CF=DFtan30°=× ,
BC=CF+BF= ,
AC= ,
綜合以上可得AC的長(zhǎng)為
3)結(jié)論:四邊形ABCD不是湘一四邊形,四邊形ABCD是平行四邊形.
理由:如圖2中,作CNADNAMCBM

∵∠ADB=ABC,
∴∠CDN=ABM,
∵∠N=M=90°,CD=AB
∴△CDN≌△ABMAAS),
CN=AMDN=BM,
AC=CACN=AM,
RtACNRtCAMHL),
AN=CM,∵DN=BM,
AD=BC,∵CD=AB,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如果一個(gè)多位自然數(shù)的任意兩個(gè)相鄰數(shù)位上,右邊數(shù)位上的數(shù)總比左邊數(shù)位上的數(shù)大1,則我們稱這樣的自然數(shù)叫“美數(shù)”,例如:1233456,67,…都是“美數(shù)”.

1)若某個(gè)三位“美數(shù)”恰好等于其個(gè)位的76倍,這個(gè)“美數(shù)”為   

2)證明:任意一個(gè)四位“美數(shù)”減去任意一個(gè)兩位“美數(shù)”之差再減去1得到的結(jié)果定能被11整除;

3)如果一個(gè)多位自然數(shù)的任意兩個(gè)相鄰數(shù)位上,左邊數(shù)位上的數(shù)總比右邊數(shù)位上的數(shù)大1,則我們稱這樣的自然數(shù)叫“妙數(shù)”,若任意一個(gè)十位為為整數(shù))的兩位“妙數(shù)”和任意一個(gè)個(gè)位為為整數(shù))的兩位“美數(shù)”之和為55,則稱兩位數(shù)為“美妙數(shù)”,并把這個(gè)“美妙數(shù)”記為,則求的最大值.

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(1)直接寫出BD的長(zhǎng)并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示)
(2)在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中,△PCA能否成為直角三角形?若能,求t的值.若不能,請(qǐng)說明理由;
(3)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)是多少?

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⑴求購進(jìn)一件甲種禮品、一件乙種禮品各需多少元;

⑵元旦前夕,禮品店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種禮品共50個(gè).恰逢該廠家對(duì)兩種禮品的價(jià)格進(jìn)行調(diào)整,一件甲種禮品價(jià)格比第一次購進(jìn)時(shí)提高了20%,一件乙種禮品價(jià)格比第一次購進(jìn)時(shí)降低了5元.如果此次購進(jìn)甲、乙兩種禮品的總費(fèi)用不超過3100元,那么這家禮品店最少可購進(jìn)多少件甲種禮品?

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