Question

如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線交OC的延長線于點D，交BC的延長線于點E．

(1)求證：∠DAC＝∠DCE；

(2)若AB＝2，sin∠D＝，求AE的長．

Answer 1

(1)證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°,

∴∠B＋∠BAC＝90°．

∵AD為⊙O的切線，

∴DA⊥AB，                                ……………………………………1分

∴∠DAC＋∠BAC＝90°,

∴∠B＝∠DAC．

∵OB＝OC，   ∴∠B＝∠OCB，

而∠OCB＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE．                        ……………………………………2分

(2) 解：∵AB＝2，∴OA＝1，

在Rt△ABC中，OA＝1，sin∠D＝，

∴OD＝＝3，

∴CD＝OD－OC＝2，

AD＝＝．              ……………………………………3分

∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D，

∴△DAC∽△DCE，

∴＝，

∴DE＝＝＝．               ……………………………………4分

∴AE＝AD－DE＝－＝．        ……………………………………5分