Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=$\sqrt{13}$，AC=2，AC切⊙O于點(diǎn)D，BC切⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ODCE是正方形；
（2）求△BCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得∴∠OEC=∠ODC=90°，再由半徑相等得OE=OD，從而可證明四邊形ODCE是正方形；
（2）利用勾股定理可得計(jì)算出BC的長(zhǎng)，然后再證明△AOD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{OD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，代入數(shù)據(jù)可得DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求得△BCD的面積．

解答 （1）證明：連接OE，DO，
∵AC切⊙O于點(diǎn)D，BC切⊙O于點(diǎn)E，∠C=90°，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，OE=OD，
∴四邊形ODCE是正方形；

（2）解：∵AB=$\sqrt{13}$，AC=2，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∵∠A是公共角，∠ODA=∠C=90°，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DC}{3}=\frac{2-DC}{2}$，
解得$DC=\frac{6}{5}$，
∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}×BC×CD=\frac{1}{2}×3×\frac{6}{5}=\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要正方形的判定、切線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的矩形是正方形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．