Question

如圖19，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D．銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

1.求證：AC平分∠DAB

2.過(guò)點(diǎn)O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

3.若CD＝4，AC＝4，求垂線段OE的長(zhǎng)．

 

Answer 1

 

1.連接OC，∵CD切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥CD。

又∵AD⊥CD，∴OC∥AD�！唷螼CA＝∠DAC�！逴C＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。

∴∠OAC＝∠DAC�！郃C平分∠DAB。 ………………………3分

2.過(guò)點(diǎn)O作線段AC的垂線OE，如圖所示：…………4分

3.在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝4，∴AD＝＝＝8 。                 ∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝2 。 ∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。

∴＝�！郞E＝×CD＝×4＝。即垂線段OE的長(zhǎng)為 �！�………8分

解析:（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到OC與CD垂直，又AD與CD垂直，根據(jù)平面上垂直于同一條直線的兩直線平行得到AD與OC平行，由平行得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，又因?yàn)閮砂霃絆A與OC相等，根據(jù)等邊對(duì)等角，得到一對(duì)相等的角，利用等量代換，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC為∠DAB的平分線；

（2）以O(shè)為圓心，以大于O到AC的距離為半徑畫弧，與AC交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)之間距離的一半長(zhǎng)為半徑在AC的另一側(cè)畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)此點(diǎn)與點(diǎn)O確定一條直線，即為所求的直線，如圖所示；

（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理，由OE與AC 垂直，得到E為AC中點(diǎn)，求出AE的長(zhǎng)，由（1）推出的角平分線得一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，由相似得比例即可求出OE的長(zhǎng)．