Question

已知點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的AB邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，P為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），直線PF⊥PD，∠EBC的平分線與PF交于點(diǎn)Q．
（1）如圖1，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求PD的長(zhǎng)，并比較PD與PQ長(zhǎng)的大��；
（2）如圖2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PD與PQ長(zhǎng)的大小關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎？為什么？
（3）設(shè)PB=x，△BPQ和△PAD的面積分別是S₁、S₂，又y=，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷y隨PB的變化而怎樣變化？

Answer 1

解：（1）當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，PA=1，AD=2，
由勾股定理PD==．
如圖，取AD中點(diǎn)M，連PM，則DM=PB=1，AM=AP=1，
∴∠AMP=45°，∴∠PMD=135°．
∵BQ為直角∠EBC的角平分線，∴∠QBE=45°，∴∠PBQ=135°．
∴∠PBQ=∠DMP
又∵PF⊥PD，∠DPA+∠FPH=90°
在Rt△PAD中∠DPA+∠PDA=90°，∴∠PDM=∠QPB
∴△PDM≌△QPB，∴PD=PQ
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PD=PQ仍然成立．
證明：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)BP=x（0＜x＜2），則PA=2-x≠0，
同樣，在AD取點(diǎn)N，使DN=PB=x，則NA=PA=2-x，連PN，則△PAN為等腰直角三角形，故
∠PNA=45°
∴∠PND=135°，
∴∠PND=∠QBP．
又由（1）知∠QPB=∠PDN，
∴△PDN≌△QPB，
∴PD=PQ．

（3）作QH⊥AB于H，則Rt△PDA≌Rt△QPH，即QH=PA=2-x，
∴
又
∴y=
故知y隨PB的增大而減小（或減小而增大）．
分析：（1）PA=1，AD=2，由勾股定理PD=，取AD中點(diǎn)M，連PM，則DM=PB=1，AM=AP=1可通過(guò)求得∠PBQ=∠DMP，∠PDM=∠QPB證明△PDM≌△QPB繼而推出PD=PQ．
（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)BP=x（0＜x＜2），則PA=2-x≠0，在AD取點(diǎn)N，使DN=PB=x，則NA=PA=2-x，連PN，則△PAN為等腰直角三角形，求出∠PND=∠QBP再由（1）知∠QPB=∠PDN所以可證明△PDN≌△QPB?PD=PQ
（3）根據(jù)（2）表示出S₁=PB×QH、S₂=AP×AD，y===，所以Y隨PB的變大而減�。�
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形的全等及正方形的性質(zhì)，注意在變化中尋找不變，深挖條件．