已知拋物線y=
1
2
x2+(k+
1
2
)x+k+1(k為常數(shù))與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<0<x2),與y軸交于C,且滿足(OA+OB)2=OC2+16,求此拋物線的解析式.
考點(diǎn):拋物線與x軸的交點(diǎn)
專題:計(jì)算題
分析:根據(jù)題意表示出OA與OB,以及OC,代入已知等式中求出k的值,即可確定出拋物線解析式.
解答:解:∵拋物線y=
1
2
x2+(k+
1
2
)x+k+1(k為常數(shù))與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<0<x2),與y軸交于C,
∴OA=-x1,OB=x2,OC=-k+1,且x1+x2=-
k+
1
2
1
2
=-2k-1,x1x2=2k+2,
∵(OA+OB)2=OC2+16,
∴(-x1+x22=OC2+16,
∴(-x1+x22=(x1+x22-4x1x2=(2k+1)2-4(2k+2)=(-k+1)2+16,
解得:k1=-2,k2=4,
∵x1<0<x2
∴x1•x2=2(k+1)<0,即k<-1,
∴k=-2,
∴拋物線解析式為y=
1
2
x2-
3
2
x-1.
點(diǎn)評(píng):此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),熟練掌握韋達(dá)定理是解本題的關(guān)鍵.
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