Question

如圖，△CAB和△CDE都是等腰直角三角形（C是直角頂點(diǎn)），點(diǎn)A在DE邊上，求證：AD²+AE²=2AC²．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：連結(jié)BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△BEC，就可以得出AD=BE，∠D=∠BEC，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠AEB=90°，由勾股定理就可以得出結(jié)論．

解答：證明：連結(jié)BE，
∵△ACB與△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=90°，∠D=∠AEC=∠CAB=45°，
DC=EC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．∠ECD-ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

，
∴△ADC≌△BEC（SAS）．
∴AD=BE，∠D=∠BEC．
∴∠BEC=45°，
∴∠BEC+∠AEC=90°，
即∠AEB=90°．
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE²+AD²=2AC²．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．