Question

【題目】已知△ABE中，∠BAE=90°，以AB為直徑作⊙O，與BE邊相交于點C，過點C作⊙O的切線CD，交AE于點D．
（1）求證：D是AE的中點；
（2）求證：AE2=ECEB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAE=90°，AB為直徑，

∴AE為⊙O的切線，

又CD為⊙O的切線，

∴AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

又AB直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠DCE=90°，∠DAC+∠DEC=90°，

∴∠DCE=∠DEC，

∴DC=DE，

∴AD=DE，

即D是AE的中點

（2）解：∵∠BAE=90°，

∴∠BAC+∠CAE=90°，

又AB直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠ABC=90°，

∴∠CAE=∠ABC，

又∠E=∠E，

∴△ACE∽△BAE，

∴ = ，

∴AE2=ECEB．

【解析】（1）根據(jù)已知條件得到AE為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質得到AD=CD，由等腰三角形的性質得到∠DAC=∠DCA，由圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)余角的性質得到∠DCE=∠DEC，即可得到結論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．