Question

等邊△ABC，點D是直線BC上一點，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．
（1）如圖1，若點D在線段BC上，求證：CE+CD=AB；
（2）如圖2，若點D在CB的延長線上，線段CE，CD，AB的數(shù)量有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，根據(jù)△ADE與△ABC都是等邊三角形，容易得到全等條件證明△CAE≌△BAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以證明題目的結(jié)論；
（2）如圖2，根據(jù)（1）可知D的位置對△CAE≌△BAD沒有影響，所以結(jié)論仍然成立，證明方法完全相同．
解答：證明：（1）如圖1，∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；
∴CE+CD=DB+CD=BC=AB，即CE+CD=AB；

（2）CE+CD=AB；
理由如下：如圖2，∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE．
即∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
∵，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴EC=DB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；
∴CE+AB=DB+BC=CD，即CE+AB=CD．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．等邊三角形的三條邊相等、等邊三角形的三個內(nèi)角相等．