Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4. 設(shè)頂點(diǎn)為

點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B.

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N. 將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P₁MN. 在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒. 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c

            由題意得    解得

            ∴二次函數(shù)的解析式為y= x²－8x+12 

            點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，－4）

（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形. 理由如下：

當(dāng)y=0時(shí)，x²-8x+12=0   ∴x₁=2 ， x₂=6

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）

設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m

     則       解得

              ∴直線BP的解析式為y=2x－12

         ∴直線OD∥BP

     ∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4， －4）     ∴ OP=4

         設(shè)D(x，2x)    則BD²=（2x）²+(6－x)²

             當(dāng)BD=OP時(shí)，（2x）²+(6－x)²=32

         解得：x₁=，x ₂=2

         當(dāng)x₂=2時(shí)，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去

         ∴當(dāng)x=時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形

         ∴當(dāng)D(，)時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形  

（3）① 當(dāng)0＜t≤2時(shí)，

∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

則MP=t    ∴PH=t，MH=t，HN=t   ∴MN=t

∴S=t·t·=t²

        ② 當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P₁G=2t－4，P₁H=t

            ∵MN∥OB    ∴ ∽

∴     ∴

            ∴ =3t²－12t+12

∴S=t²－(3t²－12t+12)= －t²+12t－12

∴  當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=t²

 

                  當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S=－t²+12t－12