Question

請(qǐng)先畫一個(gè)直角三角形ABC，使∠C=90°，再畫兩銳角∠A，∠B的角平分線AO、BO交于點(diǎn)O．
（1）請(qǐng)計(jì)算∠AOB的度數(shù)；
（1）經(jīng)過點(diǎn)O畫直線DE∥AB交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；其中有兩個(gè)等腰三角形，找一個(gè)出來加以說明．

Answer 1

分析：（1）先過一點(diǎn)作一直線的垂線，作出直角三角形，再根據(jù)角平分線的作法作出角平分線得到交點(diǎn)O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OAB+∠OBA，在△AOB中，利用三角形內(nèi)角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）等腰三角形有△BOE和△AOD，根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出∠AOD=∠DAO，然后利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明．

解答：解：（1）Rt△ABC如圖所示，
∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-90°=90°，
∵AO、BO分別是∠BAC、∠ABC的平分線，
∴∠OAB=

1

2

∠BAC，∠OBA=

1

2

∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=

1

2

（∠ABC+∠BAC）=

1

2

×90°=45°，
在△AOB中，∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-45°=135°；

（2）等腰三角形有△BOE和△AOD．
以證明△AOD為例：
∵AO是∠BAC的平分線，
∴∠BAO=∠DAO，
∵DE∥AB，
∴∠BAO=∠AOD，
∴∠AOD=∠DAO，
∴AD=OD，
即△AOD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了過一點(diǎn)作已知直線的作法，角的平分線的作法，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，等腰三角形的判定，綜合題，但難度不大．